신서고 2학년 1학기 기말고사 수학Ⅰ 기출 분석 (2025 학년)

신서고 2학년 1학기 기말고사 수학Ⅰ은 2025학년 기준 총 22문항. 출제 범위는 삼각함수의 그래프 · 삼각함수의 활용 · 등차수열과 등비수열 · 수열의 합 · 수학적 귀납법으로, 수학Ⅰ 교과서 II단원의 삼각함수 후반부와 III단원 전체를 평가하는 시험입니다. 신서고는 서울 양천구 신정동에 위치한 공립 일반계 고등학교로, 목동·신정 학원가 권역의 자연계 상위권 학생들이 진학하는 학교입니다. 2025학년 신서고 2학년 1학기 기말 수학1 시험의 특징은 06 삼각함수의 그래프 8문항 + 09 수열의 합 7문항으로 두 단원이 합쳐서 15문항(68%)을 차지하고, 상 4문항(14·16·17·18번)이 14번 이후에 몰려 있어 후반부에서 등급이 결정되는 구성입니다.

핵심 요약

• 22문항, 19~22번 단답·서술 4문항
• 난이도: 하 2 / 중 10 / 중상 6 / 상 4 (14·16·17·18번)
• 출제 단원: 06 삼각함수의 그래프(8) · 09 수열의 합(7) · 07 삼각함수의 활용(5) · 08 등차·등비수열(4) · 10 수학적 귀납법(2)
• ★ 빈출 핵심 유형: 여러 가지 각의 삼각함수(6회·5·6·15·17·18·19번) · 삼각방정식(2회·10·18번) · Σ로 표현된 수열의 합과 일반항(2회·8·22번) · Σ의 성질(2회·7·21번)
• 상 14번: 좌표 설정 + 원 위치관계 분기 + 사인법칙의 활용 + Σ를 이용한 여러 가지 수열의 합
• 상 16번: 분기 점화식 역추적 (귀납적 수열 + 등비수열의 귀납적 정의)
• 상 17번: 원에 내접 사각형 + 사인법칙·코사인법칙 결합
• 상 18번: 절댓값 함수 최솟값 = 0 조건 (삼각함수 포함 함수 최대·최소 이차식 꼴)
• 단답 19번 7/2, 20번 cos A=-1/5 S=4√6, 21번 80/3, 22번 a₁=0 a_n=log₄((2n+3)/(2n+1)) Σ=log₄ 7

신서고 수학Ⅰ 기말고사는 어떤 시험인가

신서고등학교는 서울특별시 양천구 신정동에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 목동·신정 학원가 권역의 자연계 상위권 학생들이 진학하는 학교로, 같은 양천구의 신목고·백암고·금옥여고와 함께 권역 자연계 핵심 학교 중 하나입니다.

2025학년 2학년 1학기 기말고사 수학Ⅰ은 총 22문항. 객관식 18문항(1~18번) + 단답·서술 4문항(19·20·21·22번) 구성입니다. 수학Ⅰ 교과서 II단원의 삼각함수의 그래프와 활용, III단원의 등차·등비수열·수열의 합·수학적 귀납법까지 광범위하게 평가. 양천구 내 다른 학교(신목고·강서고)와 출제 범위는 비슷하지만, 삼각함수의 그래프 비중이 8문항으로 가장 큽니다.

참고로 2025 개정 교육과정 이후 고등학교 수학에서 “수학Ⅰ”이라는 과목명은 점차 “대수”로 재편됩니다. 본문에서 다루는 시험은 2025학년 출제분으로, 당시 명칭인 수학Ⅰ을 그대로 사용합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항이 14·16·17·18번 연속 배치

상 4문항(14·16·17·18번)이 14번 이후 연속 배치되는 후반부 변별 구조. 113번까지는 비교적 정형적이지만 14번부터 난이도가 급격히 올라가, 객관식 마지막 5문항(1418번) 중 4문항이 상입니다. 신서고 기말은 14번 직전까지 시간을 아껴 14·16·17·18번에 집중 투자해야 1등급 가능.

출제 단원 — 삼각함수의 그래프 8 + 수열의 합 7

06 삼각함수의 그래프 8문항 + 09 수열의 합 7문항 = 15문항(68%) 이 시험의 절반 이상. 신서고는 같은 양천구의 신목고(등차·등비수열 8 + 삼각함수 활용 7)와 출제 비중이 정반대입니다. 신서고 대비는 삼각함수의 그래프와 수열의 합을 가장 깊게 파는 것이 핵심.

신서고 수학Ⅰ 2-1 기말의 시그니처 — “여러 가지 각의 삼각함수” 6회 (시그니처 코드)

신서고 기말의 핵심 특징은 여러 가지 각의 삼각함수(No.3501) 코드가 6회 출제(5·6·15·17·18·19번) 된 점. 양천구 권역에서 단일 코드 출제 빈도 최다 기록. 5번 중(삼각함수 그래프 성질 검증), 6번 중(변환공식 5종 비교), 15번 중상(특수각 sin·cos 값 케이스 분류 + 분수 꼴 수열의 합 + Σ를 이용한 여러 가지 수열의 합), 17번 상(원에 내접 사각형 + 사인법칙 + 사인·코사인법칙), 18번 상(절댓값 함수 최솟값 = 0 조건 + 삼각방정식), 19번 중 단답(그래프 최대·최소 + 주기 → 계수 결정 → 답 7/2).

여러 가지 각의 삼각함수가 시험의 척추 코드이며, 보각·여각·주기 변환을 자유자재로 다루지 못하면 6문항에서 점수가 줄줄 빠집니다.

또한 삼각방정식(No.3489) 2회(10·18번), Σ로 표현된 수열의 합과 일반항(No.3565) 2회(8·22번), Σ를 이용한 여러 가지 수열의 합(No.3564) 2회(14·15번), Σ의 성질(No.3556) 2회(7·21번) — 단원별 핵심 코드가 한 번 이상씩 등장.

★ 빈출 유형 (실제 2025 기출 기준)

1. 여러 가지 각의 삼각함수 — 보각·여각·주기 변환 (5·6·15·17·18·19번) — ★ 6문항 (상 2)

5번 중(그래프 성질 검증), 6번 중(변환공식 5종 비교), 15번 중상(특수각 sin·cos + 분수 꼴 수열의 합), 17번 상(사인법칙 결합), 18번 상(절댓값 함수 최솟값 = 0), 19번 중 단답(주기 → 계수 결정 → 답 7/2). 신서고 기말의 최다 빈출 시그니처.

2. 삼각방정식 + 절댓값 함수 최솟값 (10·13·18번) — ★ 3문항 (상 1)

10번 중(tan 그래프 + 부등식 영역, 삼각방정식 단순), 13번 중(사인 코사인 변환 + 인수분해 + 해 정렬, 삼각방정식 이차식 꼴), 18번 상(절댓값 함수 최솟값 = 0 조건 + 삼각함수 포함 함수 최대·최소 이차식 꼴 + 삼각방정식). 18번은 신서고 기말 최난도 문항으로, 절댓값을 포함한 식의 최솟값이 0이 되는 조건을 구해야 합니다.

3. Σ를 이용한 여러 가지 수열의 합 — 분수·로그·자연수 거듭제곱·Σ로 표현 (1·7·8·14·15·21·22번) — ★ 7문항 (상 1, 단답 3)

1번 하(기호 Σ 일반항 직접 대입), 7번 중(Σ 분리 + 상수 합, Σ의 성질), 8번 중상(S_n→a_n 차분 + 등비수열의 일반항), 14번 상(좌표 설정 + 원 위치관계 분기 + 사인법칙의 활용), 15번 중상(특수각 + 분수 꼴 + Σ를 이용한 여러 가지 수열의 합), 21번 중 단답(Σk² 공식 + 분모 인수분해 약분 → 답 80/3), 22번 중상 단답(S_n→a_n 차분 + 로그가 포함된 수열의 합 → 답 a₁=0, a_n=log₄((2n+3)/(2n+1)), Σ=log₄ 7). 22번이 신서고 기말의 백미 — 답을 세 부분(a₁·a_n·Σ)으로 모두 적어야 만점.

4. 사인·코사인법칙 + 외접원 + 사각형의 넓이 (3·9·14·17·20번) — ★ 5문항 (상 2)

3번 하(평행사변형 넓이 = 두 변·끼인각 sin), 9번 중(사인법칙으로 sin → 변 치환, 사인법칙의 변형), 14번 상(좌표 + 원 + 사인법칙의 활용 + Σ를 이용한 여러 가지 수열의 합), 17번 상(원에 내접 사각형 + 사인법칙과 삼각형의 외접원 + 사인법칙·코사인법칙), 20번 중상 단답(세 변 → cos A → sin A → 사각형 넓이 → 답 cos A=-1/5, S=4√6). 17번은 원에 내접하는 사각형의 대각의 합 = π 성질을 활용.

5. 등차·등비수열 — 일반항·삽입형·항 사이 관계·합 (2·4·8·12번) — ▲ 4문항

2번 중(두 항으로 a, d 연립, 등차수열의 일반항), 4번 중(삽입형 등차합 → 항의 개수), 8번 중상(S_n→a_n + 등비수열의 일반항), 12번 중상(항 사이 관계 → 이차방정식 → r 후보 + 절댓값 분기, 등비수열의 합). 신서고는 등차·등비수열 단원 비중이 작아 4문항이지만, 12번 중상의 절댓값 분기에서 실수 주의.

6. 수학적 귀납법 — 부등식의 증명 + 분기 점화식 (11·16번) — ▲ 2문항 (상 1)

11번 중상(수학적 귀납법: 부등식의 증명, 빈칸 추론), 16번 상(분기 점화식 역추적 + 같은 수가 반복되는 수열 + 등비수열의 귀납적 정의). 16번은 점화식을 역방향으로 추적해 a₁을 찾는 고난도 유형.

단답·서술 19~22번 구성

22번이 핵심 변별 단답입니다. 답이 a₁·a_n 일반항·Σ 값 세 부분으로 나뉘는 데다, a_n 일반항이 로그함수 형태라 식 정리 단계가 길어 실수가 자주 납니다. S_n에서 a_n 차분을 정확히 하고, n=1과 n≥2를 분리해서 답을 작성해야 만점입니다 (a₁=0이라는 점이 분리 정의의 핵심).

학부모·학생이 체크할 포인트

• 상 4문항이 14·16·17·18번 연속 배치 — 14번 직전까지 시간 아껴 후반 4문항에 투자.
• 여러 가지 각의 삼각함수 6회 — 보각·여각·주기 변환이 능숙해야. 양천구에서 가장 자주 묻는 코드.
• 18번 절댓값 함수 최솟값=0 — 절댓값을 포함한 식의 그래프 분석 필요.
• 22번 단답 세 부분 답 — a₁·a_n·Σ 세 답을 모두 적어야 만점. n=1, n≥2 분리 정의.
• 20번 단답 무리수 답 cos A=-1/5, S=4√6 — 두 부분 답, 음수 분수와 근호 정리 마무리.
• 17번 원에 내접 사각형 대각합=π — 사인·코사인법칙 결합 시 이 성질이 핵심 조건.

2025학년 1학기 기말 대비 학습 순서 제안

1. 수학Ⅰ 교과서 + 기본서 II단원(삼각함수의 그래프) 완주 — 주기·대칭·평행이동·삼각방정식
2. ★ 여러 가지 각의 삼각함수 — 보각·여각·주기 변환 — 5·6·15·17·18·19번 6문항 대비
3. ★ Σ로 표현된 수열의 합과 일반항 → S_n→a_n 차분 — 8·22번 유형, n=1과 n≥2 분리 정의
4. 삼각방정식 + 절댓값 함수 최솟값 — 10·13·18번 상 유형
5. 사인·코사인법칙 + 원에 내접 사각형 — 17번 상, 대각합=π 성질
6. 귀납적 수열 분기 점화식 역추적 — 16번 상 유형
7. 22번 단답 세 부분 답 작성 훈련 — a₁·a_n·Σ 모두 작성
8. 20번 단답 — 두 부분 답 (음수 분수·무리수) — cos·sin·넓이 모두 작성
9. 신서고 2025 1학기 기말 기출 + 변형본 — 22문항 실전 시간 관리 (113번 30분, 1418번 30분, 19~22번 20분)

자주 나오는 질문

신서고는 어떤 학교인가요?

서울특별시 양천구 신정동에 위치한 공립 일반계 고등학교입니다. 목동·신정 학원가 권역의 자연계 상위권 학생들이 진학하는 학교로, 같은 양천구의 신목고·백암고와 함께 권역 자연계 핵심 학교 중 하나입니다.

2학년 1학기 기말 수학Ⅰ은 어디까지 나오나요?

삼각함수의 그래프 · 삼각함수의 활용 · 등차수열과 등비수열 · 수열의 합 · 수학적 귀납법까지. 수학Ⅰ 교과서 II단원 후반부터 III단원 전체가 범위입니다. 신서고는 삼각함수의 그래프 비중이 8문항으로 가장 큽니다.

상 4문항은 어디서 나오나요?

2025학년 기준 14번(좌표 + 원 + 사인법칙 + 수열의 합)·16번(귀납적 수열 역추적)·17번(원에 내접 사각형 + 사인·코사인법칙)·18번(절댓값 함수 최솟값 = 0). 모두 14번 이후에 연속 배치되어 후반부 시간 관리가 중요합니다.

22번 단답 답이 왜 세 부분인가요?

22번은 Σ로 표현된 수열의 합에서 S_n → a_n 차분으로 일반항을 도출하는 문제로, a₁(첫째항)·a_n(일반항)·Σ(총합) 세 답을 모두 요구합니다. 일반항이 a_n = log₄((2n+3)/(2n+1)) 로그함수 형태이며, n=1 때는 분리 정의해 a₁=0이 됩니다. 세 답 중 하나만 틀려도 부분 점수.

18번 절댓값 함수 최솟값 = 0 조건이 뭔가요?

삼각함수를 포함한 절댓값 식의 최솟값이 0이 되려면, 절댓값 안의 식이 0이 되는 점이 존재해야 합니다. 그 조건을 만족하는 미지수의 범위·값을 구하는 고난도 유형. 이차함수의 판별식·꼭짓점 조건과 연결됩니다.

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