평촌중 3학년 1학기 기말고사 수학 기출 분석 (2025 최신)

평촌중 3학년 1학기 기말 수학은 2025학년 기준 총 21문항입니다. 출제 범위는 이차방정식의 풀이와 활용 · 이차함수의 그래프입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 마지막 세 문항인 19·20·21번이 나란히 상 난이도라는 점, 그리고 하 난이도가 1번과 7번 딱 두 개뿐이라는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 분석표에 실린 21문항 모두 선택형
• 난이도: 하 2 / 중 9 / 중상 7 / 상 3
• 배치 단원: 11 이차함수의 그래프 (1) 7 / 08 이차방정식의 풀이 (1) 6 / 09 이차방정식의 풀이 (2) 3 / 12 이차함수의 그래프 (2) 3 / 03 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈 1 / 10 이차방정식의 활용 1
• 최다 반복 유형: 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 7회(1·2·4·9·10·12·20번)
• 가장 까다로운 구간: 19·20·21번(전부 상), 그리고 8~13번의 중상 밀집 구간

평촌중 중3 1학기 기말은 어떤 시험인가

평촌중학교는 경기 안양시에 있는 중학교입니다. 2025학년 3학년 1학기 기말고사 수학은 총 21문항으로, 중3 기말 시험치고는 문항 수가 적은 편입니다. 문항 수가 적다는 건 한 문항의 비중이 크다는 뜻이고, 실제로 이 시험은 한 문항도 흘려보내기 어려운 구성입니다.

배치를 보면 앞부분에 이차방정식, 뒷부분에 이차함수가 오는 전형적인 순서가 아닙니다. 15번이 이차방정식, 68번이 이차함수, 913번이 다시 이차방정식(11번 제외), 1420번이 이차함수, 마지막 21번이 다시 이차방정식으로 돌아옵니다. 두 단원을 번갈아 오가는 배치라 어느 한쪽만 준비하면 시험 내내 막힙니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 난이도가 단 2문항

중상 이상이 10문항으로 전체의 절반입니다. 그런데 더 눈여겨봐야 할 건 반대쪽입니다. 하 난이도가 1번과 7번 두 문항뿐입니다. 앞선 학기 시험처럼 “쉬운 문제 대여섯 개를 먼저 챙기고 시작”하는 전략이 통하지 않습니다.

난이도가 올라가는 지점도 분명합니다. 1~7번까지는 하·중 구간이고, 8번부터 13번까지 여섯 문항 중 다섯 문항이 중상입니다. 그리고 14~18번에서 잠시 중·중상이 섞이다가 19·20·21번에서 상으로 마무리됩니다. 즉 8번과 19번, 두 번의 난이도 계단이 있습니다.

출제 단원 — 이차방정식 10문항, 이차함수 10문항

대단원으로 묶으면 III 이차방정식 10문항(48%), IV 이차함수 10문항(48%), I 제곱근과 실수 1문항(4%) 입니다. 두 축이 정확히 반씩 나뉘어 있습니다.

여기서 반드시 짚고 넘어갈 문항이 11번입니다. 배치 단원이 03 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈으로, 이번 시험 범위 안내에 들어 있지 않을 가능성이 큰 1학기 앞 단원입니다. 분모의 유리화를 물었고 난이도는 중상입니다. 제곱근 계산을 손에서 놓고 있었다면 이 한 문항을 통째로 날립니다.

또 하나, 10 이차방정식의 활용이 12번 한 문항뿐입니다. 활용 문제가 적게 나온 대신 이차방정식의 풀이 자체를 여러 각도로 비트는 문항이 많습니다. 중근 조건, 공통근, 한 근이 문자로 주어졌을 때의 식의 값처럼 계산보다 조건 해석이 핵심인 유형들입니다.

시그니처 유형 — “인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이” 7회

이 시험을 관통하는 단 하나의 도구를 꼽으라면 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이입니다. 1·2·4·9·10·12·20번 일곱 문항에서 쓰였습니다. 21문항짜리 시험에서 일곱 문항이면 셋 중 하나입니다.

주목할 점은 이 유형이 주인공으로 나오는 문항은 4번 하나뿐이라는 것입니다. 나머지 여섯 문항에서는 다른 개념을 묻는 문제의 마지막 계산 단계로 등장합니다. 공통근을 구하든(9번), 식의 값을 구하든(10번), 도형 활용을 풀든(12번), 이차함수 그래프와 x축의 교점을 찾든(20번) 결국 인수분해로 끝납니다. 인수분해가 느리면 모든 문항에서 조금씩 시간을 잃습니다.

두 번째로 자주 등장한 축은 이차함수의 그래프의 활용으로, 16·17·18·20번 네 문항에 걸쳐 있습니다. 그래프의 성질을 외우는 데서 그치지 않고 그래프를 좌표평면 위 도형 문제로 옮겨 푸는 힘을 봅니다.

그 밖에 2~3회 겹치는 유형은 다음과 같습니다.

• 이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프 — 15·17·19번
• 이차함수 (정의와 조건) — 6·7번
• 이차함수의 함숫값 — 7·14번
• 이차함수 y=ax²의 그래프의 성질 — 8·15번
• 이차방정식의 근의 공식 — 5·21번
• 이차방정식의 활용; 식이 주어진 경우 — 4·21번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 이차방정식의 기본기 (1·2·4번) — 3문항

1번 하 이차방정식의 해, 2번 중 이차방정식(정의와 조건), 4번 중 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이. 시험의 출발점입니다. 2번은 “다음 중 이차방정식인 것은?” 형태로, ax²+bx+c=0에서 a≠0 조건과 정리했을 때 x²항이 살아남는지를 확인하는 문항입니다. 정의를 대충 알면 틀리는 자리입니다.

2. 완전제곱식과 근의 공식 (3·5번) — 2문항

3번 중 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이·완전제곱식의 꼴로 고치기, 5번 중 근의 공식을 이용하여 미지수의 값 구하기. x²+px+q=0을 (x+m)²=n 꼴로 고치는 절차가 3번의 전부입니다. 5번은 근의 공식을 거꾸로 써서 계수를 찾는 형태로, 근호 안 판별식 부분을 정확히 맞춰야 합니다.

3. 이차함수의 도입 (6·7번) — 2문항

6번 중 이차함수·이차함수가 되도록 하는 조건, 7번 하 이차함수의 함숫값. 7번이 이 시험에 단 두 개뿐인 하 난이도 문항입니다. f(x)에 수를 대입하는 수준이니 반드시 챙기세요.

4. 중상 밀집 구간 (8~13번) — 6문항 중 5문항이 중상

이 시험에서 점수가 갈리는 구간입니다.

8번 중상 이차함수 y=ax²의 그래프의 성질·모양 — a의 절댓값이 클수록 폭이 좁아진다, a의 부호가 볼록 방향을 정한다는 두 가지를 그래프 여러 개와 대조하는 유형입니다.

9번 중상 두 이차방정식의 공통인 근 — 두 식을 각각 인수분해해서 겹치는 근을 찾거나, 두 식을 빼서 일차식을 만든 뒤 대입하는 방법을 씁니다.

10번 중상 이차방정식의 한 근이 문자로 주어졌을 때, 식의 값 구하기 — α를 대입한 식 α²+pα+q=0을 변형해 쓰는 것이 핵심입니다. α²을 낮은 차수로 바꿔치기하는 훈련이 필요합니다.

11번 중상 분모의 유리화 — 앞서 말한 범위 밖 문항입니다. 문자를 이용한 제곱근 표현, 제곱근의 곱셈과 나눗셈의 도형 활용까지 함께 묶여 있습니다.

12번 중 이차방정식의 활용; 변의 길이를 줄이거나 늘인 도형 — 가로를 늘이고 세로를 줄인 직사각형의 넓이 조건에서 식을 세우는 표준형입니다.

13번 중상 이차방정식이 중근을 가질 조건 — 판별식 b²-4ac=0, 또는 완전제곱식이 되는 조건입니다. 중근 자체(2008)와 중근을 가질 조건(2009)이 함께 묶여 있어 두 개념을 구분해 알아야 합니다.

5. 이차함수의 식과 평행이동 (14~18번) — 5문항

14번 중 이차함수의 식 구하기; 꼭짓점과 다른 한 점을 알 때 — y=a(x-p)²+q에 꼭짓점을 넣고 남은 점으로 a를 구하는 기본형입니다.

15번 중 이차함수 y=a(x-p)²+q의 그래프, 16번 중상 그 그래프의 평행이동, 17번 중 이차함수의 그래프의 활용, 18번 중상 이차함수 y=ax²의 식 구하기.

16번의 평행이동은 x축 방향 p, y축 방향 q만큼 옮길 때 부호를 반대로 넣는다는 규칙에서 실수가 가장 많이 나옵니다. 18번은 반대로 그래프에서 식을 역으로 읽어내는 문항으로, 그래프 활용까지 결합돼 중상으로 올라갔습니다.

6. 상 난이도 마지막 3문항 (19·20·21번)

19번 상 이차함수의 그래프가 지나지 않는 사분면의 조건 — y=a(x-p)²+q에서 a의 부호와 꼭짓점의 위치를 조합해 그래프가 어느 사분면을 비켜 가는지 따지는 유형입니다. 그림을 직접 그려 확인하는 게 가장 빠릅니다.

20번 상 이차함수의 그래프의 활용 + 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이 + 이차방정식의 활용; 좌표평면 위의 도형의 넓이 — 세 유형이 한 문항에 겹쳐 있습니다. 그래프와 x축의 교점을 이차방정식으로 구하고, 그 좌표로 도형의 넓이를 계산하는 흐름입니다. 이 시험에서 가장 손이 많이 가는 문항입니다.

21번 상 이차방정식의 근의 공식 + 삼각형과 사각형 활용 + 식이 주어진 경우 — 도형 조건에서 이차방정식을 세운 뒤 인수분해가 안 되어 근의 공식으로 마무리하는 형태입니다. 마지막 문항인데 이차함수가 아니라 이차방정식이라는 점에서, 시간이 없어도 식만 세워두면 부분적으로 건질 여지가 있습니다.

평촌중 중3 1학기 기말 대비 학습 순서

1. 이차방정식의 정의와 해 — a≠0 조건 확인. 1·2번의 토대.
2. ★ 인수분해를 이용한 풀이 — 일곱 문항에 쓰인 최중요 도구. 속도까지 끌어올릴 것.
3. 완전제곱식으로 고치기 — 3번 대비. (x+m)²=n 꼴 변형 절차.
4. 근의 공식과 판별식 — 5·13·21번 대비. 중근 조건 b²-4ac=0 포함.
5. ★ 한 근이 문자로 주어진 식의 값 — 10번 대비. α²을 낮은 차수로 바꾸는 훈련.
6. 두 이차방정식의 공통근 — 9번 대비.
7. 분모의 유리화 복습 — 11번 대비. 범위 밖이지만 실제로 출제됨.
8. 이차방정식의 도형 활용 — 12·20·21번 대비. 변의 길이 증감, 좌표평면 위 넓이.
9. 이차함수의 정의와 함숫값 — 6·7번 대비. 확보 구간.
10. y=ax²의 그래프 성질 — 8·18번 대비. a의 부호와 절댓값의 의미.
11. ★ y=a(x-p)²+q의 그래프와 평행이동 — 15·16·17·19번을 관통. 부호 실수 주의.
12. 꼭짓점과 한 점으로 식 구하기 — 14번 대비.
13. ★ 그래프가 지나지 않는 사분면 — 19번 대비. 직접 그려서 판단.
14. 그래프와 x축의 교점 활용 — 20번 대비. 함수와 방정식을 잇는 마지막 관문.

자주 나오는 질문

평촌중 3학년 1학기 기말 수학은 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 분석표에 실린 21문항은 모두 선택형으로 기록돼 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 이차함수의 그래프 (1)이 7문항으로 가장 많고, 이차방정식의 풀이 (1) 6문항, 이차방정식의 풀이 (2)와 이차함수의 그래프 (2)가 각각 3문항입니다. 대단원으로 묶으면 이차방정식 10문항, 이차함수 10문항으로 반반입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19·20·21번 세 문항이고, 시험지 맨 끝에 붙어 있습니다. 다만 8~13번 구간에 중상이 다섯 개 몰려 있어서 체감 난이도는 중반부터 올라갑니다.

시험 범위 밖 내용도 나왔나요?

11번이 제곱근 단원의 분모의 유리화입니다. 이차방정식·이차함수만 준비했다면 손대기 어려운 문항이니, 1학기 앞부분 제곱근 계산도 한 번 훑어두는 것이 안전합니다.

어떤 단원부터 공부해야 하나요?

인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이부터입니다. 일곱 문항에서 쓰였고, 대부분 다른 개념 문제의 마지막 계산 단계로 등장하기 때문에 여기가 느리면 시험 전체가 밀립니다.

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