장기고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

장기고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 문항이 배치된 단원은 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용 · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 상 난이도가 4문항이라는 점, 그리고 그 넷 중 셋이 답을 직접 쓰는 18~20번 구간과 겹친다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 117번 선택형, 1820번은 답을 직접 쓰는 형태(20번은 소문항 포함)
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 6 / 상 4
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 5 / 도함수의 활용 (3) 5 / 정적분 4 / 부정적분 3 / 정적분의 활용 2 / 미분계수와 도함수 1
• 두 번씩 나온 유형: 속도·가속도와 운동 방향(11·13번), 도함수가 주어질 때 함수 구하기(2·19번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(14·15번)
• 상 난이도: 15·17·19·20번

장기고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

장기고등학교는 경기도 김포시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 분석표의 정답 기록을 보면 117번은 선택형, 1820번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 11문항(미분계수와 도함수 1 · 도함수의 활용 10), 적분 파트 9문항(부정적분 3 · 정적분 4 · 정적분의 활용 2) 입니다. 미분이 조금 더 많지만 거의 반반입니다.

시험지 순서는 단원 순서가 아닙니다. 1번이 정적분 계산, 2번이 부정적분, 4번이 넓이이고, 5번부터 다시 극대·극소로 넘어갑니다. 미분과 적분이 번호마다 섞여 나오니 처음 훑을 때 어느 번호가 어느 파트인지 표시해 두는 편이 시간 관리에 낫습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 4문항

하 난이도는 1번 한 문항뿐입니다. 2~12번은 5·11번을 빼면 전부 중이라, 여기서 실수 없이 가는 것이 기본 점수를 결정합니다.

13번부터는 성격이 바뀝니다. 13~20번 여덟 문항이 모두 중상 이상입니다. 선택형 안에서도 15·17번이 이미 상이고, 답을 직접 쓰는 19·20번도 상입니다. 후반부에 시간을 남겨 두지 않으면 손도 대지 못하고 끝날 수 있는 구조입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 10문항

도함수의 활용 (2)·(3)이 합쳐서 10문항으로 시험의 절반입니다. 극대·극소와 증가·감소, 방정식과 부등식, 속도·가속도가 이 안에 모두 들어 있습니다.

눈여겨볼 점은 정적분의 활용이 2문항뿐이라는 것입니다. 대신 그 두 문항 중 17번이 상 난이도입니다. 문항 수가 적다고 넓이 단원을 가볍게 넘기면 안 되는 이유입니다.

20번은 미분계수와 도함수 단원(구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성)으로 분류돼 있습니다. 기말 범위의 앞쪽 내용이 마지막 서술형으로 나왔다는 점을 기억해 두세요.

반복 유형

같은 유형이 두 번씩 나온 경우가 다섯 개입니다.

• 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 1·3번
• 속도·가속도와 운동 방향 — 11·13번 (둘 다 중상)
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2·19번
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 14·15번
• 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 — 15·20번

15번은 미분가능성과 실근의 개수가 한 문항에 묶인 상 난이도입니다. 그리고 미분가능성은 20번 서술형에서 다시 나옵니다. 구간별로 정의된 함수에서 연속 조건과 미분계수 조건을 동시에 세우는 연습이 이 시험의 상 난이도 두 문항을 함께 대비하는 길입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 극대·극소와 증가·감소 (5·8·10·12·16번) — 5문항

5번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 10번 중 함수의 극대·극소, 12번 중 최대·최소의 활용(부피), 16번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건.

8번은 도함수의 판별식 조건을 쓰는 대표 유형입니다. 삼차함수가 실수 전체에서 감소하려면 도함수가 항상 0 이하여야 하고, 이것을 판별식으로 옮기는 과정이 핵심입니다.

12번은 원뿔 안에 원기둥을 넣는 부피 최대 문제입니다. 분석표 기록대로 닮음비로 원기둥의 높이를 반지름으로 나타낸 뒤 부피 함수의 극대를 찾는 흐름입니다.

16번은 사차함수에 절댓값이 결합된 극값 조건입니다. 이 파트의 최고 난도이니 그래프를 직접 그려 보는 연습이 필요합니다.

2. 방정식·부등식·운동 (7·11·13·15·18번) — 5문항

7번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 11번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 13번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 15번 상 미분가능성 · 실근의 개수, 18번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(서술형).

11·13번이 모두 속도·가속도이고 둘 다 중상입니다. 11번은 정지하는 두 시각과 위치 차를 이용하고, 13번은 보기 전체를 판정하는 형태로 위치 · 운동 방향 변화 · 움직인 거리를 구별해야 합니다. 위치의 변화량과 움직인 거리(절댓값 적분)를 섞어 쓰면 바로 틀립니다.

18번 서술형은 x<0 구간에서 부등식이 항상 성립하도록 하는 조건을 묻습니다. 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 그 구간에서의 최솟값을 따지는 표준 풀이를 서술 순서까지 정리해 두세요.

3. 부정적분 (2·9·19번) — 3문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 9번 중 부정적분의 계산, 19번 상 도함수가 주어질 때 함수 구하기(서술형).

2번과 19번이 같은 유형인데 난이도가 중과 상으로 갈립니다. 19번은 x≥0과 x<0에서 식이 다른 함수를 다루기 때문에, 각 구간을 따로 적분한 뒤 x=0에서의 연속 조건으로 적분상수를 이어 붙이는 과정이 들어갑니다. 서술형이라 이 접합 과정을 빠뜨리지 않고 써야 합니다.

4. 정적분 (1·3·6·14번) — 4문항

1번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 3번 중 같은 유형, 6번 중 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우), 14번 중상 실근의 개수 · 우함수·기함수의 정적분.

3번은 원의 현의 길이 제곱을 다항식으로 정리한 뒤 정적분하는 형태로 기록돼 있습니다. 계산 자체보다 식을 세우는 단계에서 도형 감각이 필요합니다.

6번은 위끝에 x가 있는 정적분 등식을 미분하는 유형입니다. 양변을 미분하는 것과, x에 아래끝 값을 대입해 상수를 구하는 것 두 단계가 기본입니다.

14번은 사차함수와 수평선의 교점 개수로 함수를 결정한 뒤 우함수의 정적분을 계산합니다. 미분 단원(실근의 개수)과 적분 단원이 한 문항에 이어진 복합형입니다.

5. 정적분의 활용 (4·17번) — 2문항

4번 중 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 17번 상 두 도형의 넓이가 같을 조건.

4번은 1/6 공식을 바로 쓸 수 있는 문항입니다. 공식을 알면 시간이 크게 줄어듭니다.

17번은 넓이가 같을 조건을 다룹니다. 두 영역의 넓이가 같다는 조건을 정적분 값이 0이라는 식으로 바꾸는 것이 출발점입니다. 그림에서 어느 영역이 x축 위인지 아래인지 먼저 정해야 식이 맞게 세워집니다.

6. 미분가능성 서술형 (20번) — 상

20번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성. 소문항이 있는 서술형입니다.

분석표에는 절댓값이 들어간 포물선을 움직이는 구간에서 최댓값 함수로 만들고, 그 함수가 미분가능하지 않은 점을 찾는 흐름으로 기록돼 있습니다. 구간이 움직일 때 최댓값이 어디서 나오는지 경우를 나누는 연습이 필요한 문항입니다.

주의 문항

15번 상 (미분가능성 · 실근의 개수) — 선택형 안의 상 난이도입니다. 두 개념이 한 문항에 들어 있습니다.

16번 중상 (사차함수의 극값 조건) — 절댓값이 결합돼 그래프를 직접 그려야 풀립니다.

17번 상 (두 도형의 넓이가 같을 조건) — 선택형 마지막 문항이자 넓이 단원 유일한 고난도입니다.

19번 상 (구간별 함수의 부정적분) — 연속 조건으로 적분상수를 잇는 과정이 핵심입니다.

20번 상 (미분가능성) — 소문항이 있는 마지막 서술형입니다.

장기고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산 — 1·3번. 확보 구간입니다.
2. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2번, 그리고 19번의 토대.
3. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 6번. 미분과 대입 두 단계.
4. 포물선과 직선 사이 넓이, 1/6 공식 — 4번.
5. 극대·극소와 미정계수 — 5·10번.
6. 삼차함수가 증가·감소할 조건(판별식) — 8번.
7. 최대·최소 활용(부피) — 12번. 닮음비로 변수 하나 줄이기.
8. ★ 속도·가속도와 운동 방향 — 11·13번. 위치 변화량과 움직인 거리 구별.
9. 방정식 f(x)=k의 실근의 부호와 개수 — 7·14·15번.
10. ★ 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 — 15·20번. 연속과 미분계수 조건 동시에.
11. 사차함수와 절댓값의 극값 — 16번.
12. 부등식이 항상 성립할 조건 — 18번 서술형. 차함수의 최솟값.
13. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 17번.
14. 구간별 적분과 연속 접합 — 19번 서술형.

자주 나오는 질문

장기고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 117번은 선택형, 1820번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 4문항(15·17·19·20번) 있습니다. 선택형에 둘, 서술형에 둘입니다. 그리고 13번부터 20번까지 여덟 문항이 모두 중상 이상입니다.

미분과 적분 중 어디가 더 많이 나왔나요?

배치 단원 기준 미분 11문항, 적분 9문항입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (2)·(3)이 각 5문항씩입니다.

서술형은 어떤 단원에서 나왔나요?

18번은 도함수의 활용 (3)(부등식이 항상 성립할 조건), 19번은 부정적분(도함수가 주어질 때 함수 구하기), 20번은 미분계수와 도함수(미분가능성)입니다. 세 문항이 모두 다른 단원입니다.

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