잠신고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

잠신고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 상 난이도가 5문항이라는 점, 그리고 그중 네 문항이 13~16번에 연속으로 배치됐다는 점입니다. 하·중·중상·상이 고르게 섞여 있어 변별력을 분명히 노린 시험입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 116번 선택형, 1721번 답을 직접 쓰는 형태(5문항)
• 난이도: 하 4 / 중 6 / 중상 6 / 상 5
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 09 정적분의 활용 2 / 07 부정적분 1
• 반복 유형: 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 4회(8·11·14·18번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(14·16·21번)
• 최고 난도 구간: 13·14·15·16번 연속 상

잠신고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

잠신고는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다(잠실고와는 다른 학교입니다). 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 116번은 선택형, 1721번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 단원입니다. 묶어 보면 미분 쪽 12문항(04·05·06), 적분 쪽 9문항(07·08·09) 으로 미분이 더 많습니다.

흐름이 분명합니다. 1~9번은 하·중만 있고, 10~12번 중상, 13~16번 상 네 문항으로 올라갑니다. 서술 구간은 17번 중으로 시작해 18~20번 중상, 마지막 21번이 다시 상입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항

상과 중상을 합치면 11문항(52%) 입니다. 반면 1~9번 아홉 문항은 모두 하·중이라, 이 구간을 실수 없이 빠르게 통과하는 것이 첫 번째 목표입니다.

13~16번 연속 상은 선택형의 마지막 네 문항입니다. 이 구간에 시간을 다 쓰면 서술 구간을 놓치게 됩니다. 17번(중)은 서술 구간에서 가장 쉬운 문항이니 먼저 확보해 두는 순서도 고려하세요.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)과 정적분이 6문항씩

도함수의 활용 (3) 6문항 중 상이 3문항(14·16·21번) 이고 중상이 2문항(10·18번)입니다. 이 시험의 고난도는 방정식과 부등식에 도함수를 활용하는 단원에 집중돼 있습니다.

정적분 6문항은 3번 하, 9번 중, 11·12·20번 중상, 13번 상입니다. 정적분의 활용은 2문항뿐이지만 15번 상, 19번 중상으로 둘 다 어렵습니다.

시그니처 유형 — 극대·극소 미정계수 4회, 실근의 개수 3회

함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정이 네 번 나왔습니다.

• 8번 중 — 극점과 극값으로 삼차함수의 계수를 구하는 기본형
• 11번 중상 — 극값과 정수근 조건에서 정적분 값이 0인 조건을 거쳐, 가능한 정수를 모두 분류
• 14번 상 — 도함수의 세 근을 이용해, 교점이 3개 이상이 되는 최대 높이와 정수 계수
• 18번 중상 — 함수가 항상 어떤 값 이상이고 등호가 두 점에서 성립하는 조건으로 극소 조건과 사차 계수를 구함

방정식 f(x)=k의 실근의 개수도 세 번(14·16·21번) 나왔고, 셋 다 상입니다. 16번은 세 근과 중근, 정수 위치의 부호 조건으로 가능한 근의 배치를 모두 따지고, 21번은 구간별로 정의된 함수의 연속·미분가능 조건을 거쳐 절댓값이 씌워진 함수의 근이 3개가 되는 경우를 찾습니다.

8번의 기본형을 확실히 하고, 그래프와 수평선으로 근의 개수를 세는 연습을 쌓아야 상 문항에 접근할 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1)·(2) (1·2·4·6·8·17번) — 6문항

1번 하 접선의 기울기, 2번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 4번 하 함수의 극대·극소, 6번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 8번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 17번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

1·4번 하는 지정된 점의 도함수값, 도함수의 부호가 바뀌는 점의 극솟값을 구하는 기본 문항입니다.

2번은 평균변화율과 같은 값을 갖는 구간 안의 도함수값을 찾습니다. 6번은 실수 전체에서 증가할 조건을 판별식으로 바꿔 정수 범위를 셉니다.

17번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 닫힌구간에서 최댓값 후보를 비교해 양수 계수를 구합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (5·10·14·16·18·21번) — 6문항

5번 중 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 14번 상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 18번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 21번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

5번은 위치를 미분한 속도가 0이 되는 양수 시각을 구하고 그때의 가속도를 계산합니다.

10번은 두 변수가 서로 독립인 부등식이라 f의 최솟값과 g의 최댓값을 비교하는 문항입니다. 같은 x에서 비교하는 일반적인 ‘항상 성립’ 문제와 구별해야 합니다.

3. 부정적분·정적분 (3·7·9·11·12·13·20번) — 7문항

3번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 7번 하 부정적분과 접선의 기울기, 9번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우, 11번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 미적분의 기본정리의 활용, 12번 중상 함수의 최대·최소 · 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 13번 상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 · 정적분을 포함한 등식, 20번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우.

3·7번 하는 같은 구간 정적분의 합차, 접선 기울기의 적분과 지나는 점으로 상수 정하기입니다.

9번은 대칭 구간 정적분에서 짝수·홀수 차수 항을 나눠 미정계수를 구합니다.

12번은 감소 구간을 넓혀 가며 절댓값의 최댓값을 정의한 함수를 두 조각으로 나눠 적분합니다.

13번(상) 은 적분 등식에 초깃값을 넣고 미분하고 정적분해 f를 구한 뒤, 두 함수의 곱의 미분과 계수 비교로 마무리합니다. 단계가 네 개로 긴 문항입니다.

20번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 적분 항등식의 차수별 계수를 비교해 함수를 정합니다.

4. 정적분의 활용 (15·19번) — 2문항

15번 상 속도·가속도와 운동 방향 · 움직인 거리, 19번 중상 곡선과 직선이 접할 때 · 두 도형의 넓이가 같을 조건.

15번은 운동 방향이 한 번만 바뀌는 조건을 중복근 조건으로 바꾸고, 가능한 세 경우의 실제 이동 거리를 모두 비교합니다.

19번은 원점에서 접하는 직선과 곡선의 두 교점으로 선분 AB의 길이를 구하고, 두 넓이가 같다는 조건을 부호 있는 정적분으로 처리합니다.

주의 문항 — 13~16번 연속 상과 21번

13번 상 (부정적분 관계식과 정적분 등식) — 미분과 적분을 번갈아 쓰는 긴 풀이입니다.

14번 상 (극값과 교점 개수) — 극대·극소 미정계수와 실근의 개수가 결합됐습니다.

15번 상 (운동 방향과 움직인 거리) — 가능한 경우를 모두 비교해야 합니다.

16번 상 (실근의 개수와 근의 배치) — 정수 위치의 부호 조건까지 따지는 문항입니다.

21번 상 (조각 함수의 미분가능성과 실근의 개수) — 마지막 서술 문항입니다.

10·11·12번 중상 — 상 구간 직전의 세 문항도 가볍지 않습니다.

잠신고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 접선의 기울기, 극솟값, 정적분 합차, 부정적분과 접선 — 1·3·4·7번 대비. 하 문항 확보.
2. 평균값 정리 — 2번 대비.
3. 속도와 가속도 — 5번 대비.
4. 삼차함수의 증가 조건 — 6번 대비.
5. ★ 극대·극소를 이용한 미정계수 — 8·11·14·18번 대비. 8번 기본형부터.
6. 우함수·기함수의 정적분 — 9번 대비.
7. 닫힌구간 최대·최소 — 17번 대비. 서술 구간 확보.
8. 두 변수가 독립인 부등식 — 10번 대비. 최소 대 최대 비교.
9. 최댓값으로 정의한 함수의 정적분 — 12번 대비.
10. 정적분 등식과 계수 비교 — 13·20번 대비.
11. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 14·16·21번 대비.
12. 운동 방향과 움직인 거리 — 15번 대비.
13. 접하는 직선과 넓이가 같을 조건 — 19번 대비.
14. 구간별 함수의 미분가능성 — 21번 대비.

자주 나오는 질문

잠신고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 116번은 선택형, 1721번 다섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)과 정적분이 각 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (2) 4문항, 도함수의 활용 (1)과 정적분의 활용 각 2문항, 부정적분 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 5문항(13·14·15·16·21번)입니다. 그중 13~16번 네 문항은 선택형 마지막에 연속으로 있습니다.

쉬운 구간은 어디인가요?

1~9번은 하·중만 있습니다. 하 4문항(1·3·4·7번)과 중 5문항(2·5·6·8·9번)입니다. 서술 구간에서는 17번이 중입니다.

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