야탑고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

야탑고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지입니다. 문항 배치를 세어 보면 미분 파트보다 적분 파트가 훨씬 무겁습니다. 20문항 중 13문항이 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다.

핵심 요약

• 20문항 (115번 선택형, 1620번 서술형 5문항)
• 난이도: 하 2 / 중 9 / 중상 8 / 상 1
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 5 / 08 정적분 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3
• 적분 13문항(65%) · 미분 7문항(35%)
• 상 1문항: 14번 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소

야탑고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

야탑고등학교는 경기 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록 기준으로 115번이 선택형, 1620번 다섯 문항이 서술형입니다.

서술형이 다섯 문항이라는 점이 먼저 눈에 띕니다. 전체의 4분의 1이 서술형이고, 그중 17·19·20번 세 문항이 중상입니다. 답만 맞히는 연습으로는 부족하고, 풀이 과정을 끝까지 쓰는 연습이 필요한 시험입니다.

단원은 미분과 적분이 섞여서 나옵니다. 1번 부정적분, 2번 속도·가속도, 3번 증가·감소 조건, 4번 넓이처럼 처음 네 문항부터 단원이 계속 바뀝니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 1문항, 중이 가장 많다

상은 14번 한 문항이고, 중과 중상이 거의 같은 비율로 나뉘어 있습니다. 하 난이도는 1번과 4번 두 문항입니다.

선택형만 보면 1~8번이 하·중(8번까지 중상 없음), 9번부터 중상이 시작됩니다. 9·10·12·13·14·15번 여섯 문항이 중상 이상이라 선택형 후반부에 시간이 많이 듭니다.

서술형은 16·18번이 중, 17·19·20번이 중상입니다. 서술형 중 16번과 18번은 반드시 끝까지 써서 점수를 확보해야 하는 문항입니다.

출제 단원 — 적분 13문항

배치 단원으로 세면 부정적분·정적분·정적분의 활용이 13문항, 미분 파트(도함수의 활용 (2)·(3))가 7문항입니다.

정적분 단원(08) 5문항은 10·12번 중상, 14번 상, 8·18번 중입니다. 정적분을 포함한 등식과 정적분으로 정의된 함수가 이 단원의 중심입니다.

반복 출제 유형

• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 1번(하) · 6번(중) · 13번(중상)
• 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우 — 4번(하) · 11번(중)
• 움직인 거리 — 7번(중) · 16번(중, 서술형)
• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 14번(상) · 18번(중, 서술형)
• 두 그래프의 교점의 개수 — 17번(중상, 서술형) · 19번(중상, 서술형)

“도함수가 주어질 때 함수 구하기”가 세 번 나와 가장 많이 반복됐습니다. 1번은 초기값을 대입하는 기본형, 6번은 도함수 그래프에서 원함수를 구하는 형태, 13번은 사차함수의 극값 조건과 함께 나왔습니다. 같은 유형이 하 → 중 → 중상으로 단계적으로 배치된 셈입니다.

두 그래프의 교점의 개수가 서술형에서만 두 번 나왔다는 점도 중요합니다. 17번과 19번 모두 중상이므로, 함수의 증감표와 개형을 그리고 교점 개수를 판정하는 과정을 서술형 답안처럼 써 보는 연습이 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 (4·7·11·16·19번) — 5문항

4번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 중 움직인 거리, 11번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 16번 중(서술형) 움직인 거리, 19번 중상(서술형) 두 그래프의 교점의 개수 · 두 곡선 사이의 넓이.

7번은 속도와 가속도의 값으로 구간별 속도를 정한 뒤 움직인 거리를 적분합니다. 16번 서술형은 두 점이 다시 만나는 시각을 먼저 구하고, 그때까지 한 점이 움직인 거리를 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 나누어 적분합니다.

11번은 x축 위와 아래 두 영역의 넓이 관계를 부호 있는 정적분으로 바꾸어 계산합니다. 19번 서술형은 절댓값이 들어간 함수의 교점 조건으로 상수를 정한 다음, 두 곡선 사이 넓이를 구하는 두 단계 문항입니다.

2. 정적분 (8·10·12·14·18번) — 5문항

8번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 10번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 12번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 14번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 18번 중(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

8번은 고정된 정적분을 하나의 상수로 놓는 기본 풀이입니다. 10번은 위끝에 변수가 있는 항등식에서 함수를 정하고 계수를 비교합니다.

14번이 이 시험의 유일한 상입니다. 절댓값이 들어간 함수를 적분한 함수가 두 극소를 갖도록 하는 이차함수를 구하는 문제로, 경우를 나누는 과정이 깁니다. 18번 서술형도 같은 유형명이지만 난이도는 중입니다. 극대 조건으로 계수를 정하고 극소와 그 값을 구하는 순서를 따르면 됩니다.

3. 도함수의 활용 (3) (2·15·17·20번) — 4문항

2번 중 속도·가속도와 운동 방향, 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 17번 중상(서술형) 두 그래프의 교점의 개수, 20번 중상(서술형) 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용.

2번은 속도가 0이 되며 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾고, 그때의 가속도를 구합니다. 15번은 역함수가 포함된 방정식을 두 함수의 치역 문제로 바꿔 범위를 구합니다.

17번 서술형은 증감표와 그래프 개형을 직접 그려야 하는 문항입니다. 20번 서술형은 함수와 도함수의 차가 주어진 범위에서 항상 0 이상이 되는 계수 조건을 구하고, 그 조건 아래에서 목표값의 최솟값을 구합니다.

4. 부정적분 (1·6·13번) — 3문항

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 6번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 13번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

6번은 도함수 그래프의 두 근과 절편으로 원함수를 구하고 극값을 대입합니다. 13번은 사차함수의 도함수에서 근의 중복도와 부호로 극값을 판정합니다.

5. 도함수의 활용 (2) (3·5·9번) — 3문항

3번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 5번 중 함수의 최대·최소, 9번 중상 최대·최소의 활용; 넓이.

3번은 도함수인 이차식이 항상 0 이상이 되는 조건입니다. 5번은 안쪽 함수의 치역을 먼저 구한 뒤 바깥 삼차함수의 최댓값을 구하는 합성 구조입니다. 9번은 포물선에 내접하는 사다리꼴의 넓이를 한 변수로 나타내 최대를 구합니다.

주의 문항

14번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 선택형 후반의 고비입니다.

12번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 연속함수의 구간별 부호를 모두 결정해야 합니다.

15번 중상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 역함수가 들어 있어 처음 보면 낯섭니다.

17·19·20번 중상 서술형 — 서술형 다섯 문항 중 세 문항입니다. 과정 점수를 받으려면 증감표·교점 조건·부등식 조건을 단계별로 적어야 합니다.

야탑고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 1·6·13번 대비. 이 시험 최다 반복 유형.
2. 삼차함수의 증가·감소 조건 — 3번 대비.
3. 함수의 최대·최소와 넓이 최대 활용 — 5·9번 대비.
4. 속도·가속도와 운동 방향 — 2번 대비.
5. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 15번 대비.
6. ★ 두 그래프의 교점의 개수 서술 — 17·19번 서술형 대비. 증감표와 개형을 직접 쓰기.
7. 부등식이 항상 성립할 조건 — 20번 서술형 대비.
8. 정적분을 포함한 등식(상수 끝 · 변수 끝) — 8·10번 대비.
9. ★ 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 극대·극소 — 12·14·18번 대비.
10. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 4·11번 대비.
11. 움직인 거리 — 7·16번 대비. 속도 부호가 바뀌는 시각에서 나누기.
12. 두 곡선 사이의 넓이 — 19번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

야탑고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 115번이 선택형, 1620번 다섯 문항이 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 09 정적분의 활용과 08 정적분이 각 5문항입니다. 부정적분까지 합치면 적분 파트가 13문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 14번(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) 한 문항입니다. 중상은 8문항이고 그중 세 문항(17·19·20번)이 서술형입니다.

서술형은 어떤 내용이 나왔나요?

16번 움직인 거리, 17번 두 그래프의 교점의 개수, 18번 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 19번 두 그래프의 교점의 개수와 두 곡선 사이의 넓이, 20번 부등식이 항상 성립할 조건입니다.

같은 학기 1학년 공통수학2 기말과 비교하면 어떤가요?

2025학년 야탑고 1학년 2학기 기말 공통수학2는 21문항에 중상 11 · 상 2였습니다. 2학년 수학Ⅱ는 중상 8 · 상 1로 중상 이상 문항이 더 적고, 대신 서술형이 5문항으로 1학년(4문항)보다 한 문항 많습니다.

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