충훈고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

충훈고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 19문항입니다. 범위는 도함수의 활용 후반부터 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용까지입니다. 19문항 중 적분 파트가 12문항, 도함수의 활용이 7문항입니다. 적분이 중심인 시험이지만, 시험에서 가장 어려운 문항(15번, 상)은 미분 쪽(사차함수의 극값) 에서 나왔습니다.

핵심 요약

• 19문항, 정답 기록 기준 서술형 2문항(18·19번)
• 난이도: 하 1 / 중 10 / 중상 7 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 2
• 유일한 상 문항: 15번 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건
• 가장 까다로운 구간: 14~19번 여섯 문항이 중상 이상

충훈고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

충훈고등학교는 경기 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 19문항이고, 정답 기록으로 세면 1~17번은 선지 번호, 18·19번은 서술형입니다.

난이도 흐름이 뚜렷합니다. 1~10번은 하 1문항과 중 9문항으로 계산 위주입니다. 11번부터 중상이 섞이기 시작해 14~19번은 여섯 문항이 모두 중상 이상입니다. 앞 10문항에서 시간을 아껴야 뒤에서 버틸 수 있습니다.

단원은 번호 순서와 상관없이 섞여 있습니다. 1~3번이 정적분, 4번이 부정적분, 5번이 정적분의 활용, 6번이 도함수의 활용으로 시작부터 미분과 적분을 오갑니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 1문항, 중상 7문항

하 난이도는 1번 하나입니다. 사실상 중 10문항이 기본 점수 구간입니다. 2~10번이 연속으로 중이고, 13번이 하나 더 있습니다.

중상 7문항은 11번 이후에만 나옵니다. 그중 두 문항(18·19번)은 서술형입니다.

출제 단원 — 적분 12문항, 미분 7문항

08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 그런데 이 6문항 중 5문항이 하·중 난이도입니다. 정적분 계산 자체는 점수를 쌓는 구간입니다.

반대로 06 도함수의 활용 (3)은 4문항 중 3문항이 중상(11·14·17번)입니다. 방정식의 실근, 부등식이 항상 성립할 조건, 미정계수 결정 같은 응용 유형이 여기 모여 있습니다. 문항 수는 정적분보다 적지만 점수가 갈리는 곳은 미분 응용 쪽입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 계산 (1·2·3·7·13번) — 5문항

1번 하 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우), 2번 중 정적분의 계산(절댓값 기호를 포함한 함수), 3번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 7번 중 주기함수의 정적분, 13번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우).

1번은 적분 구간을 합쳐 한 번에 계산하는 문항입니다. 2번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 각각 적분합니다.

3번은 정적분을 포함한 극한식을 미분계수의 정의로 바꿔 읽는 문항입니다. 이 형태를 알아보면 바로 함숫값 계산으로 끝납니다.

7번은 대칭인 구간과 주기를 이용해 전체 주기의 적분과 남은 반 주기의 적분을 더합니다. 13번은 정적분을 포함한 등식에 적분 구간의 끝값 두 개를 대입해 조건을 얻고, 추가 조건과 연립합니다.

2. 부정적분 (4·16번) — 2문항

4번 중 부정적분과 접선의 기울기, 16번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

4번은 접선의 기울기 식에서 원래 함수를 구하고, 한 점을 지난다는 조건으로 적분상수를 정합니다.

16번은 부정적분이 들어간 관계식을 미분해 항등식으로 바꾸고, 다항식의 차수와 계수를 정한 뒤 함숫값으로 검산합니다. 차수부터 정하는 것이 출발점입니다.

3. 정적분의 활용 (5·8·12·19번) — 4문항

5번 중 두 곡선 사이의 넓이, 8번 중 위치와 위치의 변화량, 12번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 19번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이(서술형).

5번은 두 곡선의 위아래 관계와 부호를 판정해 주어진 넓이를 정적분의 합으로 나타냅니다. 8번은 출발 시각이 다른 두 점의 위치를 적분으로 나타내고 연립해 양의 근을 고르는 문항입니다.

12번은 대칭성과 부호로 두 넓이를 적분식으로 쓰고, 넓이가 같다는 조건을 하나의 정적분이 0이 되는 식으로 바꿉니다. 방정식의 근 가운데 조건에 맞는 것을 골라야 합니다.

19번 서술형은 포물선과 직선으로 둘러싸인 넓이를 적분식으로 세우고, 좌우 대칭을 이용해 가운데 부분과 전체의 넓이 비를 만든 뒤 양수 매개변수를 구합니다.

4. 도함수의 활용 (2) — 증감과 극값 (6·10·15번) — 3문항

6번 중 함수의 최대·최소, 10번 중 도함수의 그래프의 해석 (응용), 15번 상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건.

6번은 도함수의 부호를 분석해 닫힌 구간의 끝값과 극값을 비교하는 기본 문항입니다. 10번은 도함수 그래프의 부호에서 증감과 극값을 읽고, 극값의 부호로 실근의 개수를 판단합니다.

15번이 시험 전체의 유일한 상 문항입니다. 절댓값을 씌운 함수가 미분 가능하지 않은 점의 개수 조건을 근의 구조로 바꾸고, 도함수가 중근을 갖는 두 경우를 각각 따로 세운 뒤, 나머지 조건으로 한 경우를 골라 함수를 결정하는 4단계 문항입니다. 경우를 하나만 보면 함수가 정해지지 않습니다.

5. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식·운동 (9·11·14·17번) — 4문항

9번 중 속도·가속도와 운동 방향, 11번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 14번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 17번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 · 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.

9번은 위치를 미분해 속도와 가속도를 구하고, 운동 방향이 바뀌는 시각을 기준으로 각 보기를 판정합니다.

11번은 극값을 구한 뒤 세 실근의 부호 조건에 맞는 수평선 y=k의 범위를 정하고, 경계가 포함되지 않는다는 점을 확인해 정수 최댓값을 구합니다.

14번은 모든 실수에서 성립하는 부등식을 두 개의 최대·최소 조건으로 나누고, 도함수와 완전제곱식으로 양쪽 경계를 정한 뒤, 자연수 k의 개수 조건에서 매개변수를 거꾸로 구합니다.

17번은 사차식의 근 구조를 세우고, 부등식의 경계에서 a를 정한 뒤 닫힌 구간에서 최솟값을 구하는 문항입니다. 두 유형이 한 문항에 결합돼 있습니다.

6. 서술형 18번 — 극값과 정적분의 결합

18번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우).

극값을 갖는 두 위치에서 도함수의 계수를 정하고, 정적분 조건으로 적분상수를 정한 뒤, 실제로 그 위치에서 도함수의 부호가 바뀌는지 다시 확인하는 3단계 서술형입니다. 미분과 적분을 한 문항 안에서 모두 써야 하고, 마지막 확인 단계까지 써야 풀이가 완성됩니다.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 7문항

11번 중상 (f(x)=k의 실근의 부호) — 경계가 포함되지 않는다는 점을 확인합니다.

12번 중상 (두 넓이가 같을 조건) — 하나의 정적분이 0이 되는 식으로 바꾸는 것이 핵심입니다.

14번 중상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 두 조건으로 나눠 따로 처리합니다.

15번 상 (사차함수의 극값 조건) — 두 경우를 독립적으로 세워야 합니다.

16번 중상 (함수와 부정적분 관계식) — 미분해서 항등식으로 바꿉니다.

17번 중상 (미정계수와 구간 부등식) — 두 유형이 결합된 문항입니다.

18·19번 중상 (서술형) — 극값과 정적분의 결합, 포물선과 직선의 넓이 비입니다.

충훈고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산, 구간 합치기 — 1번 대비. 확보 구간입니다.
2. 절댓값 함수의 정적분, 주기함수의 정적분 — 2·7번 대비.
3. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 3번 대비.
4. 정적분을 포함한 등식 — 13·18번 대비.
5. 부정적분과 접선의 기울기 — 4번 대비.
6. 함수와 부정적분 관계식 — 16번 대비.
7. 두 곡선 사이의 넓이, 넓이가 같을 조건 — 5·12번 대비.
8. 곡선과 직선 사이의 넓이 — 19번 서술형 대비.
9. 위치와 위치의 변화량, 속도와 가속도 — 8·9번 대비.
10. 함수의 최대·최소, 도함수 그래프 해석 — 6·10번 대비.
11. ★ 방정식의 실근 조건 — 11번 대비.
12. ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 14·17번 대비.
13. ★ 사차함수의 극값 조건 — 15번 대비. 시험 최고 난도입니다.
14. 극값 조건으로 미정계수 결정 — 18번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

충훈고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 정답 기록으로 세면 서술형이 2문항(18·19번)입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 4문항, 05 도함수의 활용 (2)가 3문항, 07 부정적분이 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 15번 한 문항(사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건) 입니다. 그 밖에 중상이 7문항이고 모두 11번 이후에 있습니다.

적분과 미분 중 어디가 더 중요한가요?

문항 수는 적분 12문항, 미분 7문항으로 적분이 많습니다. 다만 미분 7문항 중 4문항이 중상 이상이라 고득점은 미분 응용에서 갈립니다.

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