관양고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

경기 안양시 관양고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지이고, 미분 8문항, 적분 12문항으로 나뉩니다. 하 난이도는 한 문항도 없고, 중 7문항, 중상 11문항, 상 2문항입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
• 난이도: 하 0 / 중 7 / 중상 11 / 상 2
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 08 정적분 5 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 1
• 최고 난도: 17번 상 (곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이), 20번 상 서술형 (정적분을 포함한 등식)
• 중 난이도 7문항 중 6문항이 1~6번에 몰림

관양고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

관양고등학교는 경기 안양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

1~6번이 전부 중이고 8번도 중입니다. 극값 조건으로 상수 정하기, 곡선과 x축 사이 넓이, 접선의 기울기로 부정적분 구하기, 속도와 운동 방향, 정적분 계산, 삼차함수가 증가할 조건, 도함수 그래프 해석입니다.

7번부터는 8번을 제외하고 끝까지 중상 이상입니다. 하 난이도가 없으니 앞 여섯 문항이 사실상 확보 구간입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 0문항, 중상 이상 13문항

중상 이상이 13문항, 65% 입니다. 7번 이후 13문항 중 12문항이 중상 이상이라 후반부는 문항당 시간이 오래 걸립니다.

상 2문항은 17번(넓이)과 20번(서술형 정적분 등식) 으로 둘 다 적분입니다. 시험 마지막 구간에 몰려 있으니 앞에서 시간을 남겨야 합니다.

출제 단원 — 적분 12문항, 미분 8문항

적분 세 단원 12문항(60%), 도함수의 활용 8문항(40%) 입니다. 부정적분은 3번 한 문항뿐이고, 정적분과 정적분의 활용이 11문항입니다.

도함수의 활용에서는 극대·극소와 증가·감소(05 단원) 5문항, 방정식·부등식·속도(06 단원) 3문항입니다. 미분 쪽은 그래프 해석과 극값 조건이 중심입니다.

시그니처 — 정적분을 포함한 등식과 넓이가 상 문항을 만든다

상 2문항과 중상 문항 다수가 정적분으로 정의된 함수와 넓이에서 나왔습니다.

• 9번 중상 부정적분과 극대·극소 / 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 함수와 부정적분의 등식을 미분해 함수 꼴을 정하고, 극한 값으로 적분상수 결정
• 13번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수) — 미분해서 얻은 식과 상수 정적분을 연립
• 18번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분 — 0이 되는 점의 위치로 구간을 나눠 계산
• 20번 상 서술형 정적분을 포함한 등식(끝과 피적분함수에 변수) — 미분으로 삼차함수의 조건을 얻고, 극대 위치로 함수를 결정한 뒤 새로 정의된 함수의 최솟값 구하기

정적분 단원 5문항 중 5번을 뺀 네 문항이 중상 이상입니다. 정적분으로 정의된 함수는 “미분한다 → 끝값을 대입한다”는 두 동작을 기본으로 깔고 들어가야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 — 극값과 증가·감소 (1·6·8·15·16번)

1번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 6번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 8번 중 도함수의 그래프의 해석(응용), 15번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건, 16번 중상 최대·최소의 활용(넓이).

6번은 역함수가 존재할 조건을 삼차함수가 항상 증가할 조건으로 바꾸고, 도함수의 판별식으로 상수 범위를 구합니다. 등호 포함 여부가 실수 지점입니다.

15번은 주어진 근과 이차 인수로 사차함수 꼴을 두 가지로 놓고, 극소가 없다는 조건으로 하나를 고릅니다. 16번은 접선의 절편과 수선 길이로 삼각형 넓이를 함수로 만든 뒤 최댓값을 찾습니다. 정의역 끝을 확인하는 단계가 있습니다.

2. 도함수의 활용 — 방정식·부등식·속도 (4·12·14번)

4번 중 속도·가속도와 운동 방향, 12번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 14번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

12번은 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 최솟값이 0보다 크도록 하는 표준 풀이입니다. 14번은 삼차함수의 극값과 절댓값 그래프로 수평선 높이를 나누어 각 높이에서 실근 수를 셉니다.

3. 부정적분·정적분 (3·5·9·13·18·20번)

3번 중 부정적분과 접선의 기울기, 5번 중 정적분의 계산(피적분함수가 같은 경우). 나머지 9·13·18·20번은 위 시그니처 항목입니다.

3번은 접선의 기울기가 도함수라는 점에서 출발해 적분하고, 주어진 점으로 적분상수를 정합니다. 5번은 적분 방향을 바꾸고 같은 피적분함수의 구간을 합치는 성질을 씁니다.

4. 정적분의 활용 (2·7·10·11·17·19번) — 6문항

2번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 10번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 11번 중상 함수와 그 역함수의 정적분, 17번 상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 19번 중상 서술형 움직인 거리.

17번이 선택형 최고 난도입니다. 접점에서 중근, 원점에서 근을 갖는 조건으로 사차식을 인수 형태로 세우고, 원점을 지나는 접선과 나머지 이차식으로 교점을 구한 뒤 넓이를 적분합니다.

10번은 속도 그래프의 선분 구간별 부호와 넓이로 위치와 움직인 거리를 계산합니다. 19번 서술형은 두 점의 위치를 미분해 속도를 구하고, 두 속도의 곱이 음수인 시간 범위와 움직인 거리를 서술합니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 것이 공통 핵심입니다.

11번은 역함수의 정적분을 직사각형 넓이 관계로 바꾸어 구합니다.

주의 문항 — 상 2문항 + 중상 11문항

17번 상 (곡선과 접선 넓이) — 인수 꼴 세우기부터 넓이 적분까지 길게 이어집니다.

20번 상 (서술형 정적분 등식) — 함수 결정과 최솟값까지 서술해야 합니다.

9·13번 중상 (정적분으로 정의된 함수) — 미분과 대입을 정확히 써야 합니다.

12·14번 중상 (부등식, 실근의 개수) — 그래프를 그려 경우를 나눕니다.

15·16번 중상 (사차함수 극값, 넓이 최대) — 미분 단원 후반의 응용형입니다.

7·10·11번 중상 (넓이 조건, 위치·거리, 역함수 정적분) — 적분 활용 응용형입니다.

18·19번 중상 (절댓값 정적분, 서술형 움직인 거리) — 구간 나누기가 공통입니다.

관양고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 극값 조건으로 상수 정하기, 도함수 그래프 해석 — 1·8번 대비.
2. 삼차함수가 항상 증가할 조건 — 6번 대비. 판별식 등호 확인.
3. 속도·가속도와 운동 방향 — 4번 대비.
4. 접선의 기울기와 부정적분, 정적분의 성질 — 3·5번 대비.
5. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 2번 대비.
6. 사차함수의 극값 조건, 넓이의 최대·최소 — 15·16번 대비.
7. 부등식이 항상 성립할 조건, 실근의 개수 — 12·14번 대비.
8. ★ 정적분으로 정의된 함수(미분·대입) — 9·13·20번 대비. 이 시험의 중심.
9. 절댓값 함수의 정적분 — 18번 대비.
10. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 7번 대비.
11. ★ 위치·위치의 변화량·움직인 거리 구분 — 10·19번 대비.
12. 역함수의 정적분 — 11번 대비.
13. 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 17번 대비.

자주 나오는 질문

관양고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용 6문항이 가장 많고, 도함수의 활용 (2) 5문항, 정적분 5문항, 도함수의 활용 (3) 3문항, 부정적분 1문항 순입니다.

킬러 문항이 있나요?

17번(곡선과 접선 넓이)과 20번(서술형 정적분 등식) 두 문항이 상입니다. 중상도 11문항이라 시험 전체 난도가 높습니다.

쉬운 문제는 어디에 있나요?

하 난이도는 없습니다. 중 난이도 7문항이 1~6번과 8번에 있으니 이 구간을 먼저 정확히 풀어야 합니다.

같은 학교 다른 시험 분석도 있나요?

내신판 블로그에 관양고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ, 1학년 공통수학 분석 글이 따로 있습니다. 학년·학기·과목을 확인하고 보세요.

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