구리고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

구리고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지이고, 미분 파트 10문항과 적분 파트 10문항이 정확히 반반으로 나뉩니다. 이 시험의 특징은 하 난이도가 1번 단 한 문항뿐이라는 점, 그리고 상 난이도 두 문항(16·17번)이 객관식 끝자리에 연달아 놓여 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
• 난이도: 하 1 / 중 11 / 중상 6 / 상 2
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 3 / 08 정적분 2
• 반복 유형: 극대·극소로 미정계수 결정(4·12번), f(x)=k의 실근의 개수(7·19번), 움직인 거리(11·18번)
• 상 난이도: 16번(넓이 이등분), 17번(모든 실수에서 부등식이 성립할 조건)

구리고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

구리고등학교는 경기 구리시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번은 답과 과정을 쓰는 서술형입니다.

문항이 단원 순서대로 묶여 있지 않습니다. 1번이 부정적분, 2번이 정적분, 3번이 다시 부정적분이고, 4·5번에서 도함수의 활용으로 넘어갑니다. 미분과 적분 문항이 번갈아 나오는 배치라, 한 문항 안에서 어느 단원 도구를 꺼낼지 바로 판단하는 연습이 필요합니다.

단원을 크게 묶으면 도함수의 활용 (2)·(3) 10문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용 10문항입니다. 2학기 기말이라 적분 비중이 클 것 같지만, 미분 쪽도 똑같이 10문항이 나왔습니다. 1학기 후반 내용이라고 미분을 덜 보면 그대로 절반을 놓칩니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 1문항, 중 11문항

하 난이도가 1번 하나뿐입니다. 2번부터는 전부 중 이상이라, 확보 구간이라고 부를 만한 곳이 사실상 없습니다. 대신 중 11문항이 2~14번 사이에 넓게 깔려 있어서, 이 구간을 실수 없이 빠르게 처리하는 것이 점수의 바탕입니다.

고난도는 15~20번에 몰려 있습니다. 15번 중상, 16·17번 상, 18번 중상, 서술형 19·20번 중상으로 마지막 여섯 문항이 모두 중상 이상입니다. 앞에서 시간을 얼마나 남겼느냐가 뒷부분을 결정합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 6문항이 최다

도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 극대·극소, 최대·최소, 증가·감소 조건이 모두 이 단원입니다. 그다음이 정적분의 활용 5문항이고, 상 난이도 16번이 여기 속합니다.

정적분 단원 자체는 2문항뿐이지만, 정적분의 활용 5문항이 모두 정적분 계산을 깔고 있습니다. 정적분 계산이 실제로 쓰이는 문항은 7문항이라고 보는 편이 현실적입니다.

시그니처 — 운동 문제 3문항, 실근 개수 2문항

이 시험에서 눈에 띄는 축은 두 가지입니다.

첫째, 수직선 위 운동 문제가 3문항입니다.

• 8번 중 속도·가속도와 운동 방향 — 운동 방향이 바뀌는 시각의 속도와 가속도
• 11번 중 움직인 거리 — 속도 부호를 나눠 이동거리 구하기
• 18번 중상 움직인 거리 — 구간마다 이동거리 함수를 세우고 연속성과 최솟값까지 따지는 보기형

8번은 미분(속도·가속도), 11·18번은 적분(이동거리)입니다. 같은 운동 상황을 미분 방향과 적분 방향으로 모두 물었다는 점이 이 시험의 특징입니다. 11번과 18번 모두 속도의 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 나누는 것이 출발점입니다.

둘째, 방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 2문항(7·19번) 입니다. 7번은 수평선과 삼차곡선이 세 점에서 만나는 범위를, 서술형 19번은 극한 조건과 다섯 실근 조건으로 삼차식을 결정하는 문항입니다. 극값의 높이와 수평선의 위치를 비교하는 그림을 그릴 수 있어야 두 문항이 함께 풀립니다.

이 밖에 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정이 4·12번 두 번 나왔습니다. 4번은 극소점 조건으로 계수를 정하고 극댓값을 구하는 기본형, 12번은 기함수 조건이 붙은 삼차식입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 극값·최대최소·증감 (4·5·9·12·14·15번) — 도함수의 활용 (2) 6문항

4번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 중 함수의 최대·최소(닫힌구간의 끝점과 극값 비교), 9번 중 삼차함수가 극값을 가질 조건, 12번 중 극대·극소로 미정계수 결정(기함수인 삼차식), 14번 중 함수의 증가와 감소(이어 붙인 조각 삼차함수), 15번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

9번은 도함수의 판별식으로 정리됩니다. 삼차함수가 극대와 극소를 모두 가지려면 도함수인 이차식이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.

15번이 이 단원의 고비입니다. 도함수(이차함수)의 꼭짓점이 주어진 구간 안에 있는지 밖에 있는지로 경우를 나눈 뒤, 각 경우의 조건을 합쳐 가능한 정수의 개수를 셉니다. 경우 하나를 빠뜨리면 개수가 달라집니다.

14번은 두 조각이 이어진 함수에서 증가 조건을 묻습니다. 각 조각이 증가하는 범위와 이어지는 점의 연속 조건을 같이 써야 합니다.

2. 방정식·부등식과 운동 (7·8·17·19번) — 도함수의 활용 (3) 4문항

7번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 8번 중 속도·가속도와 운동 방향, 17번 상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 19번 중상·서술형 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

17번은 이 시험의 상 난이도 두 문항 중 하나입니다. 모든 실수에서 부호 조건이 성립하도록 삼차식의 꼴을 정하고, 그 뒤 실근의 개수를 따지는 문항입니다. 근이 겹치는 경우와 겹치지 않는 경우를 따로 나눠 확인해야 합니다.

19번 서술형은 극한 조건에서 함숫값과 미분계수를 먼저 얻고, 다섯 실근 조건으로 삼차식을 결정합니다. 서술형이므로 극한에서 얻은 조건, 극솟값 조건, 계수 결정을 단계별로 식으로 남겨야 부분 점수를 받습니다.

3. 부정적분 (1·3·6번) — 3문항

1번 하 부정적분과 미분의 관계, 3번 중 부정적분과 접선의 기울기, 6번 중상 부정적분과 미분계수.

3번은 접선의 기울기가 도함수라는 점에서 출발합니다. 기울기 식을 적분해 함수를 구하고, 지나는 점으로 적분상수를 정합니다.

6번이 중상인 이유는 극한이 섞여 있기 때문입니다. 극한값이 유한하다는 조건에서 함숫값을 먼저 확정하고, 미분계수와 적분식을 이어 계수를 결정합니다.

4. 정적분 (2·10번) — 2문항, 둘 다 중

2번 정적분을 포함한 등식(위끝에 변수가 있는 경우), 10번 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우).

2번은 위끝과 아래끝이 같으면 정적분이 0이라는 성질로 상수를 먼저 정하고, 미적분의 기본정리로 도함수값을 구하는 순서입니다.

10번은 식이 주어지지 않은 기함수의 정적분입니다. 대칭 구간에서 기함수 적분이 0이 된다는 성질로 주어진 구간을 쪼개 관계식을 만드는 문항입니다.

5. 정적분의 활용 (11·13·16·18·20번) — 5문항

11번 중 움직인 거리, 13번 중상 도함수로 함수 구하기와 곡선과 x축 사이의 넓이, 16번 상 정적분을 포함한 등식과 두 곡선 사이의 넓이 이등분, 18번 중상 움직인 거리, 20번 중상·서술형 도함수로 함수 구하기와 두 곡선 사이의 넓이.

16번이 이 시험의 최고 난도 문항입니다. 위끝에 변수가 있는 적분 등식을 미분해 함수를 먼저 구하고, 그 곡선과 대칭인 곡선이 만드는 세 영역의 넓이가 같다는 조건을 다룹니다. 그림이 주어지지 않아 영역의 모양을 직접 그려야 하고, 넓이가 같다는 조건을 “부호 있는 정적분 값이 0”으로 바꾸는 것이 핵심입니다.

13번과 20번은 둘 다 도함수에서 함수를 구한 뒤 넓이를 계산합니다. 13번은 곡선과 x축 사이, 20번은 두 곡선 사이입니다. 서술형 20번은 두 함수의 차를 적분하고 두 교점 조건으로 적분상수를 정한 뒤 넓이를 구하는 3단계라, 차함수를 먼저 세우는 습관이 있으면 훨씬 빨라집니다.

주의 문항 — 중상·상 8문항

6번 중상 (부정적분과 미분계수) — 앞쪽에 놓인 유일한 중상입니다. 극한 조건을 놓치면 시간이 오래 걸립니다.

13번 중상 (도함수로 함수 구하기·넓이) — 영점 조건으로 적분상수와 적분 구간을 정한 뒤 넓이를 구합니다.

15번 중상 (구간에서 증가하기 위한 조건) — 꼭짓점 위치로 경우를 나누는 문항입니다.

16번 상 (넓이 이등분) — 그림 없이 영역 구조를 직접 잡아야 합니다.

17번 상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 근의 겹침 여부로 경우를 나눕니다.

18번 중상 (움직인 거리·보기형) — 구간별 이동거리 함수를 세우고 보기 하나씩 참거짓을 판정합니다.

19번 중상·서술형 (실근의 개수) — 극한과 실근 조건을 차례로 씁니다.

20번 중상·서술형 (두 곡선 사이의 넓이) — 차함수, 교점, 넓이 순서로 씁니다.

구리고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계 — 1번 대비. 유일한 하 난이도라 반드시 확보.
2. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 2·16번의 공통 도구. 같은 끝값 대입과 미분 두 가지.
3. 접선의 기울기로 함수 구하기 — 3번 대비.
4. ★ 극대·극소로 미정계수 결정 — 4·12번 대비. 도함수 0과 함숫값 조건을 동시에.
5. 닫힌구간의 최대·최소 — 5번 대비. 끝점까지 반드시 비교.
6. 삼차함수가 극값을 가질 조건 — 9번 대비. 도함수의 판별식.
7. 조각함수의 증가 조건, 구간에서의 증가 조건 — 14·15번 대비. 경우 나누기 연습.
8. ★ f(x)=k의 실근의 개수 — 7·19번 대비. 극값 높이와 수평선 비교.
9. 모든 실수에서 부등식이 성립할 조건 — 17번 대비.
10. ★ 속도·가속도와 움직인 거리 — 8·11·18번 대비. 속도 부호로 구간 나누기.
11. 기함수·우함수의 정적분 — 10번 대비.
12. 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 13·16·20번 대비. 차함수를 먼저 세우기.

자주 나오는 질문

구리고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많고, 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 부정적분 3문항, 정적분 2문항 순입니다. 미분 쪽과 적분 쪽이 각각 10문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16번(넓이 이등분)과 17번(모든 실수에서 부등식이 성립할 조건) 두 문항입니다. 15~20번 여섯 문항이 모두 중상 이상입니다.

쉬운 문항은 몇 개인가요?

하 난이도는 1번 한 문항뿐입니다. 대신 2~14번 사이에 중 난이도 11문항이 있어, 이 구간을 정확하게 푸는 것이 기본 점수가 됩니다.

서술형은 어떤 내용인가요?

19번은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번은 도함수로 함수를 구한 뒤 두 곡선 사이의 넓이를 구하는 문항입니다. 둘 다 중상 난이도입니다.

다른 학년·학기 구리고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

구리고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기출 받아보기

2025학년 구리고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.

📚 구리고 전체 기출이 궁금하다면?

👉 내신판에서 구리고등학교 기출 전체 보기

가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.

(경기 구리시 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)

네이버 태그 (복붙용)

#구리고 #구리고기출 #구리고등학교 #수학2 #고2수학내신 #2학년2학기기말고사 #구리시고등학교 #도함수의활용 #정적분 #내신판