도농고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

도농고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 경기 남양주시에 있는 도농고의 이번 시험은 적분 파트(부정적분·정적분·정적분의 활용)가 15문항, 미분 파트가 9문항입니다. 그중 정적분의 활용 한 단원이 8문항으로 가장 큽니다.

핵심 요약

• 24문항. 정답 기록 기준 24문항 모두 ①~⑤ 선택지 정답
• 난이도: 하 2 / 중 10 / 중상 12 / 상 0
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 8 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 03 미분계수와 도함수 1
• 반복 유형: 곡선과 x축 사이의 넓이(3·23번), 위치와 위치의 변화량(14·20번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(18·20번)
• 17번부터 마지막 24번까지 여덟 문항이 연속 중상

도농고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

도농고 2025학년 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 24문항입니다. 정답 기록 기준으로 모든 문항의 정답이 ①~⑤ 중 하나로 적혀 있습니다.

2학기 기말답게 적분 비중이 큽니다. 부정적분 3, 정적분 4, 정적분의 활용 8을 합쳐 15문항(63%) 입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (2)·(3) 8문항과 미분계수와 도함수 1문항이고, 04 도함수의 활용 (1)(접선·평균값 정리) 단원으로 배치된 문항은 없습니다.

배치는 미분과 적분이 계속 섞입니다. 1번 정적분, 2번 부정적분, 3번 넓이, 4번 속도, 5번 부정적분, 6번 최대·최소처럼 한두 문항마다 단원이 바뀝니다. 마지막 24번은 미분계수 문항입니다.

같은 학교의 다른 학기·학년 시험 분석도 내신판 블로그에 따로 정리돼 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 12문항, 상 0문항

하 2문항은 2·3번입니다. 부정적분을 미분해 값을 구하는 문항과, 함수가 양수인 구간에서 넓이를 구하는 문항입니다.

상 난이도는 없지만 중상이 절반(12문항) 입니다. 7·8·9번이 연달아 중상으로 한 번 고비가 오고, 10~16번은 12번을 빼면 중 문항이 이어집니다. 그리고 17번부터 24번까지 여덟 문항이 전부 중상입니다. 시험 후반부 3분의 1을 중상으로 채운 구조라, 10~16번 중 문항을 빠르게 지나가는 것이 시간 운영의 핵심입니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 8문항

정적분의 활용 8문항은 넓이(3·7·13·17·23번)와 위치·움직인 거리(10·14·20번)로 나뉩니다. 넓이 문항이 5개로 더 많습니다.

속도·위치 관련 문항은 단원을 넘나듭니다. 미분 쪽 4·11번(속도·운동 방향)과 적분 쪽 10·14·20번(위치와 움직인 거리)을 합치면 운동 문항이 5개입니다.

반복 출제 — 같은 유형 2회가 세 쌍

• 곡선과 x축 사이의 넓이 — 3번(하), 23번(중상)
• 위치와 위치의 변화량 — 14번(중), 20번(중상)
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 18번(중상), 20번(중상)

같은 유형이 쉬운 문항과 어려운 문항으로 한 번씩 나온 쌍이 많습니다. 3번은 함수가 양수인 구간에서 정적분만 계산하면 되지만, 23번은 증가함수 조건으로 양수임을 먼저 확인하고 평행이동 관계로 두 구간 적분을 이어 붙여야 합니다.

20번은 두 유형이 겹친 문항입니다. 두 점의 속도를 적분해 위치를 구한 뒤, 두 점이 만나는 횟수를 실근의 개수 문제로 바꿉니다. 미분과 적분을 한 문항 안에서 오가는 구조입니다.

단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)

1. 미분계수와 도함수 (24번) — 1문항

24번 중상 항등식이 주어질 때 미분계수 구하기. 함수 항등식에서 f(0)과 도함수의 관계를 끌어내고, 극한 조건으로 계수를 정합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (6·19·21번) — 3문항

6번 중 함수의 최대·최소. 닫힌 구간에서 극값과 양 끝 값을 모두 비교합니다.

19번 중상 최대·최소의 활용, 부피. 정사각뿔에 내접한 직육면체의 부피가 최대가 되는 경우를 닮음으로 식을 세워 구합니다.

21번 중상 도함수의 그래프의 해석 (응용). 도함수의 극값과 그래프 이동을 이용해 보기의 실근에 관한 주장을 판정합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (4·9·11·16·18번) — 5문항

4번 중 속도. 점이 다시 원점에 오는 처음 양의 시각을 찾고 그때의 속도를 구합니다.

9번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건. 부등식을 사차함수의 최솟값 문제로 바꿔 정수 개수를 셉니다.

11번 중 속도·가속도와 운동 방향. 두 점의 운동 방향이 같은 시각에 바뀌도록 상수를 정합니다.

16번 중 시각에 대한 길이의 변화율. 닮음으로 거리 관계를 세우고, 묻는 대상이 그림자의 길이인지 그림자 끝점인지 구분해 미분합니다.

18번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 절댓값이 붙은 사차함수 그래프와 수평선의 교점 개수를 따져 조건을 만족하는 정수를 더합니다.

16번은 “그림자의 길이”와 “그림자 끝이 움직이는 속도”를 헷갈리기 쉬운 유형입니다. 문제가 묻는 것이 무엇인지 먼저 표시하고 식을 세우세요.

4. 부정적분 (2·5·8번) — 3문항

2번 하 부정적분과 미분의 관계. 부정적분 등식을 미분해 함숫값을 구합니다.

5번 중 부정적분과 미분의 관계. 최댓값 조건으로 적분상수를 정합니다.

8번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 관계식을 미분해 이차식을 구하고, 근과 계수의 관계와 실근 조건으로 상수를 확정합니다.

5. 정적분 (1·12·15·22번) — 4문항

1번 중 정적분의 계산, 적분 구간이 같은 경우. 정적분 값을 계수에 대한 식으로 계산해 상수를 정합니다.

12번 중상 정적분을 포함한 등식, 위끝에 변수가 있는 경우. 차수를 비교해 최고차항을 정하고 계수를 하나씩 결정합니다.

15번 중 정적분의 계산, 피적분함수가 같은 경우. 이어지는 구간을 합치거나 빼서 계산합니다.

22번 중상 정적분의 계산, 구간에 따라 다르게 정의된 함수. 접선의 축 절편으로 정의된 길이를 구하고, 최솟값이 바뀌는 지점에서 구간을 나눠 적분합니다.

6. 정적분의 활용 (3·7·10·13·14·17·20·23번) — 8문항

3번 하 곡선과 x축 사이의 넓이. 함수가 구간 전체에서 양수임을 확인하고 정적분을 계산합니다.

7번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이. 증가함수와 역함수의 교점을 구하고 대칭을 이용해 두 영역의 넓이를 계산합니다.

10번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리. 속도 그래프에서 위치의 변화량, 움직인 거리, 방향 전환을 각각 판정합니다.

13번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건. 포물선의 대칭축을 이용해 넓이 조건을 세우고 상수를 정합니다.

14번 중 위치와 위치의 변화량. 처음 높이에 속도의 정적분을 더해 특정 시각의 높이를 구합니다.

17번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이. 삼차곡선의 접선과 다른 교점을 구해 넓이를 계산합니다.

20번 중상 위치와 위치의 변화량, 방정식 f(x)=k의 실근의 개수. 두 점의 위치를 적분으로 구한 뒤 만나는 횟수를 따집니다.

23번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이. 증가함수 조건과 평행이동 관계로 이어지는 두 구간의 적분값을 구해 넓이를 더합니다.

주의 문항 — 중상 12문항 중 핵심

7번 중상 (역함수 대칭 넓이) — y=x 대칭으로 영역을 옮겨 넓이를 구하는 발상이 필요합니다.

8번 중상 (부정적분 관계식) — 이차식을 구한 뒤 중근인 경우를 따로 제외해야 합니다.

9번 중상 (사차함수 부등식) — 모든 실수에서 성립하려면 최솟값이 조건을 만족해야 합니다.

18번 중상 (절댓값 사차함수의 실근 개수) — f=k와 f=-k를 함께 봐야 하는 문항입니다.

20번 중상 (두 점의 위치와 만나는 횟수) — 처음 시각을 포함하는지 제외하는지가 갈림길입니다.

21번 중상 (도함수 그래프 해석) — 보기를 하나씩 판정하는 형식이라 시간이 걸립니다.

22번 중상 (구간별 함수의 정적분) — 함수를 먼저 구간별로 정리해야 적분이 시작됩니다.

23·24번 중상 — 마지막 두 문항도 모두 중상입니다. 시간 배분을 미리 계산해 두세요.

도농고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계 — 2·5번 대비. 확보 구간.
2. 정적분의 계산(구간·피적분함수 같은 경우) — 1·15번 대비.
3. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 3·23번 대비.
4. 함수와 부정적분의 관계식 — 8번 대비.
5. 정적분을 포함한 등식, 구간별 함수의 정적분 — 12·22번 대비.
6. ★ 위치·속도·움직인 거리 — 4·10·11·14·20번 대비. 운동 문항 5개.
7. 닫힌 구간의 최대·최소와 부피 활용 — 6·19번 대비.
8. 부등식이 항상 성립할 조건 — 9번 대비.
9. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 18·20번 대비.
10. 길이의 변화율 — 16번 대비.
11. 역함수 대칭 넓이, 곡선과 접선 사이 넓이, 넓이 같을 조건 — 7·13·17번 대비.
12. 도함수 그래프 해석, 항등식과 미분계수 — 21·24번 대비.

자주 나오는 질문

도농고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 정답 기록 기준으로 24문항 모두 ①~⑤ 선택지 정답으로 적혀 있습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분의 활용이 8문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 5문항, 정적분 4문항, 부정적분 3문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 미분계수와 도함수 1문항입니다.

미분은 얼마나 나오나요?

미분 쪽은 9문항입니다. 도함수의 활용 (2)·(3)이 8문항, 미분계수와 도함수가 1문항이고, 접선·평균값 정리 단원(04)으로 배치된 문항은 없습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 12문항이고, 17~24번 여덟 문항이 연속 중상입니다.

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