동탄고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

동탄고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 20문항입니다. 가장 큰 특징은 08 정적분 단원에 10문항, 정확히 절반이 배치됐다는 점입니다. 난이도도 높아서 중상 11문항, 상 3문항으로 중상 이상이 14문항입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형 2문항
• 난이도: 하 2 / 중 4 / 중상 11 / 상 3
• 배치 단원: 08 정적분 10 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 0
• 눈여겨볼 유형: 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 최대·최소(10·14·16·18번)
• 가장 까다로운 구간: 6번부터 끝까지 8번 하나만 빼고 전부 중상 이상

동탄고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

동탄고등학교는 경기 화성시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번 두 문항은 서술형입니다.

배치 단원은 08 정적분 10문항, 09 정적분의 활용 4문항, 05 도함수의 활용 (2) 3문항, 06 도함수의 활용 (3) 3문항입니다. 07 부정적분에 배치된 문항은 0개입니다.

기말이지만 05 도함수의 활용 (2) 문항(3·5·8번)도 3개 함께 출제됐습니다. 함수의 최대·최소, 부피의 최대, 극값을 이용한 미정계수 결정입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 14문항

하·중 6문항이 모두 1~8번 안에 있습니다. 1번 속도, 2번 위끝에 변수가 있는 정적분 등식, 3번 최대·최소, 4번 위끝·아래끝이 상수인 정적분 등식, 5번 부피의 최대, 8번 극값과 미정계수입니다.

9번부터 20번까지 12문항은 전부 중상 이상입니다. 앞 여덟 문항을 빠르고 정확하게 처리해야 뒤에서 버틸 시간이 생깁니다.

출제 단원 — 정적분 10문항

정적분 10문항 중 4문항(10·14·16·18번)이 “정적분으로 정의된 함수”의 극대·극소 또는 최대·최소입니다. 상 3문항 가운데 16·18번이 여기에 속하고, 나머지 상 20번도 08 정적분 단원에 배치된 서술형입니다.

적분 파트(08·09)를 합치면 14문항(70%) 입니다.

정적분으로 정의된 함수 4문항 — 이 시험의 핵심

• 10번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 적분함수가 극값을 갖는 조건을 구간 안에서 확인합니다.
• 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 전체 구간에서의 최솟값을 다룹니다.
• 16번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 극값이 하나뿐이 되는 조건을 찾습니다.
• 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 최솟값이 존재하는 경우를 가려냅니다.

네 문항 모두 출발점은 같습니다. 적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 된다는 미적분의 기본정리입니다. 도함수를 먼저 얻고, 그 부호 변화로 극값과 최솟값을 따지는 흐름을 반복해서 익혀 두세요.

16·18번은 여기에 경우 나누기가 더해집니다. 도함수가 바뀌는 지점이 어디에 있느냐에 따라 경우가 갈리니, 그래프를 그려 가며 경우를 빠짐없이 적는 연습이 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 등식과 계산 (2·4·6·13·15번)

2번 하 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 4번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 6번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 13번 중상 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 15번 중상 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우.

2번은 양변을 미분, 4·6번은 정적분 값을 상수로 놓는 풀이입니다. 같은 “정적분을 포함한 등식”이라도 끝이 변수인지 상수인지에 따라 방법이 다르니 먼저 구별하세요.

13번은 두 함수의 합과 곱 조건에서 함수를 정한 뒤 절댓값이 있는 함수를 적분합니다. 절댓값 안의 부호가 바뀌는 점에서 구간을 나누는 것이 핵심입니다.

15번은 구간별로 정의된 함수에서 대칭 구간 적분을 다룹니다. 미분가능 조건으로 미지수를 먼저 정해야 합니다.

2. 정적분의 활용 (7·9·11·17번) — 4문항, 전부 중상

7번 두 도형의 넓이가 같을 조건, 9번 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값, 11번 속도·가속도와 운동 방향·움직인 거리, 17번 두 곡선 사이의 넓이(대칭인 두 곡선).

7번 “넓이가 같다”는 조건은 정적분 값이 0이 되는 식으로 바꿔 씁니다. 9번은 넓이를 함수로 놓고 다시 미분해 최솟값을 구합니다.

11번은 위치, 운동 방향, 움직인 거리 세 가지를 함께 묻는 문항입니다. 위치는 정적분, 움직인 거리는 속도의 절댓값 적분이라는 차이를 정확히 알아야 합니다.

3. 도함수의 활용 (1·3·5·8·12·19번)

1번 하 속도, 3번 중 함수의 최대·최소(구간에서 최댓값), 5번 중 최대·최소의 활용; 부피(원뿔 부피의 최대), 8번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(사차함수), 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 중상(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 부호.

3번은 극값과 구간 양 끝값을 모두 비교해야 합니다. 5번은 구에 내접한 원뿔의 부피를 함수로 세운 뒤 미분합니다.

12번과 19번은 같은 계열입니다. f(x)=k의 실근을 그래프와 수평선 y=k의 교점으로 보고, 극값 높이를 기준으로 k의 범위를 나눕니다. 19번 서술형은 여기서 양의 근과 음의 근의 개수까지 따지고 정수 k의 개수를 셉니다.

4. 서술형 20번 — 상

20번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수·미적분의 기본정리의 활용(사차함수와 수평선의 교점 조건).

적분으로 주어진 함수를 미분해 도함수를 얻고, 수평선과 만나는 점의 개수 조건으로 극값 높이를 정하는 서술형입니다. 도함수 세 근의 위치에 따라 경우가 나뉘는 문항이라 서술 분량이 많습니다.

주의 문항 — 상 3, 중상 11

16번 상 (적분함수의 극값이 하나뿐일 조건) — 경우 나누기가 길어집니다.

18번 상 (적분함수의 최솟값 존재) — 최솟값이 있는 경우와 없는 경우를 구별해야 합니다.

20번 상 (사차함수와 수평선, 서술형) — 극값 높이와 교점 개수를 연결합니다.

6·13·15번 중상 (정적분 등식·절댓값·대칭 적분) — 계산이 길어 실수가 잦습니다.

7·9·11·17번 중상 (정적분의 활용) — 넓이·거리 네 문항이 모두 중상입니다.

10·14번 중상 (정적분으로 정의된 함수) — 미분해서 도함수를 얻는 데서 시작합니다.

12·19번 중상 (f(x)=k의 실근) — 그래프와 수평선으로 봅니다.

동탄고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도, 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 1·2번 확보.
2. 구간의 최대·최소, 극값과 미정계수 — 3·8번 대비.
3. 원뿔 부피의 최대 — 5번 대비.
4. ★ 정적분을 포함한 등식 두 가지 구별 — 4·6번 대비.
5. 넓이가 같을 조건, 넓이의 최솟값 — 7·9번 대비.
6. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 최대·최소 — 10·14·16·18번 대비.
7. 속도와 운동 방향, 움직인 거리 — 11번 대비.
8. f(x)=k의 실근의 개수와 부호 — 12·19번 대비.
9. 절댓값이 있는 함수의 정적분 — 13번 대비.
10. 우함수·기함수의 정적분 — 15번 대비.
11. 대칭인 두 곡선 사이의 넓이 — 17번 대비.
12. 사차함수와 수평선의 교점 서술 — 20번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

동탄고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 10문항으로 절반입니다. 정적분의 활용 4문항, 도함수의 활용 (2)·(3) 각 3문항이 뒤를 잇고, 부정적분 단원 문항은 없습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16·18·20번 세 문항입니다. 16·18번은 정적분으로 정의된 함수, 20번은 서술형입니다. 중상도 11문항이라 9번 이후는 모두 중상 이상입니다.

기말인데 도함수의 활용 (2) 문항도 나오나요?

네. 배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 3문항(3·5·8번) 출제됐습니다. 최대·최소, 부피의 최대, 극값과 미정계수입니다.

과년도 동탄고 기출도 볼 수 있나요?

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