서운고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 단원입니다. 이 시험의 특징은 중 난이도가 14문항으로 전체의 3분의 2라는 점, 그리고 1~13번에 중상 이상이 한 문항도 없다는 점입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록 기준 118번 선택형, **1921번 서술형 3문항**
• 난이도: 하 1 / 중 14 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 3회(5·7·17번)
• 가장 까다로운 구간: 14~18번 다섯 문항(중상 4 · 상 1)

서운고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

서운고등학교는 인천 계양구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항이고, 정답 기록을 보면 118번은 선택형, 1921번 세 문항이 서술형입니다.

파트별로 나누면 다음과 같습니다.

• 미분 파트(04·05·06 도함수의 활용) — 9문항 (1·3·5·7·14·16·17·20·21번)
• 적분 파트(07·08·09) — 12문항 (2·4·6·8·9·10·11·12·13·15·18·19번)

적분이 조금 더 많지만 미분도 9문항으로 적지 않습니다. 서술형은 19번이 정적분, 20·21번이 도함수의 활용 (3) 입니다. 서술형 세 문항 중 두 문항이 미분 쪽이라는 점을 기억해 두세요.

시험은 1번 롤의 정리로 시작합니다. 2학기 기말이지만 도함수의 활용 (1) 단원이 1번과 14번 두 문항 나왔습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 14문항

1~13번은 2번(하)을 빼고 전부 중입니다. 쉬운 문항으로 시간을 버는 구간이 거의 없습니다. 대신 중 난이도가 길게 이어지니 한 문항에 오래 머물지 않고 일정한 속도로 푸는 것이 중요합니다.

14~18번 다섯 문항이 중상 4문항과 상 1문항으로 묶여 있습니다. 선택형 마지막 다섯 문항이 이 시험의 고비입니다.

서술형은 19·20번이 중, 21번이 중상입니다.

출제 단원 — 정적분 7문항이 최다

08 정적분 7문항이 한 단원으로는 가장 큽니다. 계산(2·6번), 정적분을 포함한 등식(8·9번), 우함수·기함수(13번), 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(18·19번)까지 정적분 단원의 대표 유형이 고르게 나왔습니다.

06 도함수의 활용 (3)은 3문항이지만 두 문항이 서술형(20·21번) 입니다.

시그니처 유형 — “최대·최소를 이용한 미정계수의 결정” 3회

함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정이 5·7·17번 세 문항에 나왔습니다.

• 5번(중) — 구간의 끝점과 임계점의 함숫값을 비교하고, 최솟값 조건으로 상수와 최댓값을 정합니다.
• 7번(중) — 도함수의 두 근의 관계로 계수를 정하고, 극댓값과 극솟값의 차를 계산합니다.
• 17번(중상) — 이동하는 구간에서 도함수의 최솟값 조건을 거꾸로 따져 극값과 최솟값을 정하는 문항입니다.

5·7번은 기본형, 17번은 응용형입니다. 극값 후보(도함수가 0인 점)와 구간의 끝점을 모두 비교한다는 출발점은 세 문항이 같습니다.

두 번씩 나온 유형도 있습니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 16·21번. 두 문항 모두 절댓값이 들어간 그래프와 수평선의 교점을 다룹니다.
• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 18·19번
• 정적분을 포함한 등식 — 8번(아래끝과 위끝이 상수), 9번(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) (1·14번)

1번 중 롤의 정리, 14번 중상 접선의 방정식(접점의 좌표가 주어진 경우).

1번은 롤의 정리 조건을 확인하고, 열린구간 안에 있는 도함수의 영점을 고르는 문항입니다. 구간 끝점은 답이 될 수 없다는 점을 확인하세요.

14번은 극한 조건에서 함숫값과 미분계수를 구하고, 곱으로 된 항등식을 미분해 접선의 계수를 정합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (3·5·7·17번)

3번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 5·7번 중 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 17번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

3번은 역함수가 존재할 조건을 도함수의 부호 조건으로 바꾸고, 판별식으로 부등식을 세우는 문항입니다. 삼차함수의 역함수가 존재하려면 실수 전체에서 증가(또는 감소)해야 한다는 연결을 알아야 합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (16·20·21번)

16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 중(서술형) 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 21번 중상(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

16번은 절댓값 그래프와 수평선이 홀수 개의 점에서 만나는 조건을 따집니다. 21번은 원래 함수의 극값을 먼저 구한 뒤, 절댓값을 씌운 그래프가 수평선과 네 점에서 만나는 범위를 구합니다.

20번은 두 함수의 차를 새 함수로 두고 최솟값을 구하는 문항입니다. 부등식이 등호 없는 부등식이라 경계값을 포함하는지 서술 과정에서 분명히 해야 합니다.

4. 정적분 (2·6·8·9·13·18·19번)

2번 하 정적분의 계산, 6번 중 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 8번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수), 9번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수), 13번 중 우함수·기함수의 정적분, 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 19번 중(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

6번은 연결 지점에서 연속이 되도록 상수를 정한 뒤 구간을 나누어 적분합니다. 8번은 정적분 값을 상수로 두고 식을 세운 뒤 절댓값 적분까지 이어집니다. 9번은 피적분함수에도 변수 x가 들어 있는 형태라, x를 적분 기호 밖으로 꺼낸 뒤 미분해야 합니다.

**18번(상)**은 정적분으로 정의된 함수의 극값이 하나뿐인 구조를 따지는 문항입니다. **19번(서술형)**은 같은 유형의 기본형으로, 미분해서 도함수를 구하고 부호를 조사해 극댓값을 구합니다.

5. 정적분의 활용 (10·11·12·15번)

10번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 11번 중 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 12번 중 포물선과 직선 사이의 넓이, 15번 중상 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 곡선과 x축 사이의 넓이.

10번은 속도 그래프의 넓이로 위치와 거리 선지를 판단합니다. 12번은 포물선과 직선이 만드는 두 영역의 넓이를 다루며, 포물선과 직선 사이 넓이 공식(1/6 공식) 을 알면 계산이 빨라집니다.

15번은 도함수를 적분해 함수를 정하고 x축과 사이의 넓이를 구하는 문항입니다.

6. 부정적분 (4번)

4번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 항등식을 미분하고 주어진 값으로 함수를 정합니다.

주의 문항 — 14~18번과 서술형 21번

14번 중상 (접선의 방정식) — 극한과 곱의 미분이 함께 나옵니다.

15번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 함수를 먼저 정해야 넓이 계산으로 넘어갈 수 있습니다.

16번 중상 (절댓값 그래프의 실근 개수) — 교점 개수가 홀수가 되는 경우를 따져야 합니다.

17번 중상 (최대·최소를 이용한 미정계수의 결정) — 구간이 움직이는 조건이라 경우를 나눠야 합니다.

18번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 이 시험의 유일한 상 문항입니다.

21번 중상, 서술형 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 절댓값 그래프에서 실근이 네 개가 되는 범위를 서술해야 합니다.

서운고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산과 구간별 정의 함수의 정적분 — 2·6번 대비.
2. 롤의 정리 — 1번 대비. 열린구간 조건 확인.
3. 삼차함수가 증가할 조건(역함수 존재 조건) — 3번 대비.
4. ★ 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 5·7·17번 대비. 이 시험의 시그니처.
5. 부정적분과 함수의 관계식 — 4번 대비.
6. 정적분을 포함한 등식 두 유형 — 8·9번 대비.
7. 우함수·기함수의 정적분 — 13번 대비.
8. 포물선과 직선 사이 넓이, 역함수 대칭 넓이 — 11·12번 대비.
9. 속도 그래프에서 위치와 거리 — 10번 대비.
10. 접선의 방정식과 곱의 미분 — 14번 대비.
11. ★ 절댓값 그래프와 수평선의 교점 — 16·21번 대비.
12. 두 함수의 차로 부등식 풀기 — 20번 서술형 대비.
13. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 18·19번 대비.

자주 나오는 질문

서운고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 118번은 선택형, 1921번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분 7문항이 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2)와 09 정적분의 활용이 각 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 18번(정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) 한 문항입니다. 14~17번 중상 네 문항이 바로 앞에 이어집니다.

도함수의 활용 (1) 단원도 나오나요?

네. 1번 롤의 정리, 14번 접선의 방정식 두 문항이 04 도함수의 활용 (1)로 배치되어 있습니다.

과년도 서운고 기출도 볼 수 있나요?

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