신현고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 서구)

신현고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 24문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)~(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용까지 걸쳐 있습니다. 미분 쪽 11문항, 적분 쪽 13문항으로 적분이 조금 더 무겁고, 서술형은 21~24번 4문항입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 24문항 — 정답 기록상 120번 선택형, **2124번 서술형 4문항**
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 8 / 상 2
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(위끝·아래끝에 변수) 3회(9·16·18번)
• 상 난이도: 20번(선택형 마지막)과 24번(서술형 마지막)

신현고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천신현고등학교는 인천 서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 24문항이고, 정답 기록을 보면 120번이 선택형, 2124번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

단원 구성은 도함수의 활용 (2) 6문항, 정적분 6문항이 중심입니다. 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항이 뒤를 잇고, 부정적분은 2문항, 접선을 다루는 도함수의 활용 (1)은 1번 한 문항뿐입니다.

미분과 적분 문항이 번호 순서대로 나뉘어 있지 않습니다. 1번 접선, 2번 속도, 3번 극값 다음 4번에서 바로 정적분이 나오고, 이후로도 두 영역이 계속 섞여 나옵니다. 시험지를 받으면 단원이 어디서 바뀌는지 먼저 훑어보는 편이 좋습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항이 허리

하 난이도 네 문항은 1·4·5·6번으로 앞쪽에 모여 있습니다. 접선의 방정식, 같은 구간의 정적분, 도함수로 함수 구하기, 정적분 꼴의 극한까지 공식을 바로 적용하는 문항들입니다.

중상 여덟 문항은 13~18번에 여섯 개가 연달아 있고, 서술형 22·23번이 나머지 둘입니다. 선택형 후반부는 13번부터 사실상 쉬어 가는 문항이 19번 하나뿐이라, 앞쪽 12문항을 빠르게 끝내 두는 것이 시간 배분의 핵심입니다.

상 두 문항은 20번과 24번으로, 선택형과 서술형의 마지막 자리에 하나씩 놓였습니다. 둘 다 05 도함수의 활용 (2)의 극대·극소 활용 문항입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)·정적분 각 6문항

05 도함수의 활용 (2)는 6문항 중 4문항이 중상 이상입니다(14·15번 중상, 20·24번 상). 문항 수는 정적분과 같지만 어려운 문항의 밀도는 이 단원이 가장 높습니다.

정적분 6문항은 하 2, 중 2, 중상 2로 고르게 퍼져 있습니다. 대신 정적분을 포함한 등식이 세 번 나와서, 이 유형 하나를 확실히 잡으면 정적분 파트의 절반이 정리됩니다.

반복 유형 — 정적분을 포함한 등식 3회

정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우가 9·16·18번 세 문항에 나왔습니다.

• 9번(중) 아래끝을 대입해 상수 조건을 정하고, 적분식을 미분해 함숫값을 구합니다.
• 16번(중상) 적분식을 미분해 두 다항함수의 관계를 만들고 두 함수를 결정합니다.
• 18번(중상) 변수가 들어간 적분 구간을 단위 구간으로 나누고, 대입으로 식을 여러 개 세워 연립합니다.

같은 유형이지만 9번은 기본형, 16·18번은 연립까지 이어지는 응용형입니다. “양변 미분”과 “적분 구간이 같아지는 값 대입” 두 가지 도구를 손에 익혀 두세요.

그 밖에 곡선과 x축 사이의 넓이(7·17번), 함수의 극대·극소의 활용(20·24번) 이 두 번씩 나왔습니다. 특히 20·24번은 둘 다 상 난이도이고 절댓값이 씌워진 함수의 극대 개수를 따지는 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) (1번) — 1문항

1번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우.

정해진 접점에서 미분계수를 구해 접선의 방정식에 대입하는 기본 문항입니다. 첫 문항이니 실수 없이 넘어가야 합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (3·8·14·15·20·24번) — 6문항

3번 중 함수의 극대·극소, 8번 중 함수의 최대·최소, 14번 중상 도함수의 그래프의 해석(응용), 15번 중상 함수의 증가와 감소, 20번 상 함수의 극대·극소의 활용, 24번 상(서술형) 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 함수의 극대·극소의 활용.

3번은 도함수의 부호 변화로 극값을 찾아 극값의 합을 구합니다.

8번은 짝수 차수항만 있는 사차함수의 최댓값을 묻습니다. 극댓값과 함수의 끝 모양을 비교해야 합니다.

14번 중상은 도함수의 그래프에서 두 그래프가 접하는 곳과 교차하는 곳을 구분해 읽고, 차함수의 증감을 따져 보기를 판정하는 문항입니다.

15번 중상은 증가 조건을 도함수가 0 이상이라는 조건으로 바꾼 뒤, 도함수의 최솟값을 구합니다. 등호가 성립하는 경계에서도 증가하는지 확인해야 합니다.

20번 상은 사차함수에 절댓값이 붙은 함수의 극값 개수를 다룹니다. 도함수가 두 실근을 갖는 조건에서 출발해 매개변수를 가르고, 미분 불가능한 점까지 세어야 합니다.

24번 서술형 상은 구간별로 정의된 함수가 미분가능하도록 접합점의 연속과 미분계수 일치로 계수를 정한 뒤, 절댓값 함수의 극대 개수 조건으로 상수의 범위를 정하는 문항입니다.

3. 도함수의 활용 (3) (2·12·13·22번) — 4문항

2번 중 속도·가속도와 운동 방향, 12번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 13번 중상 접선의 개수, 22번 중상(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

2번은 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾고 그때의 가속도를 계산합니다.

12번은 두 사차함수의 차를 새 함수로 놓고 그 최솟값으로 부등식 조건을 정합니다.

13번 중상은 접점을 문자로 두고 접선이 주어진 점을 지나는 조건을 세운 뒤, 삼차함수의 극값 높이로 접선이 세 개 그어지는 범위를 정합니다.

22번 서술형은 절댓값이 씌워진 삼차함수에서 실근의 개수가 줄어드는 경계를 찾는 문항입니다.

4. 부정적분 (5·10번) — 2문항

5번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 10번 중 부정적분과 접선의 기울기.

10번은 접선의 기울기로 주어진 식을 적분해 함수를 만들고, 주어진 값으로 적분상수를 정한 뒤 함숫값을 구합니다.

5. 정적분 (4·6·9·16·18·19번) — 6문항

4번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 6번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 9·16·18번 정적분을 포함한 등식(위 반복 유형 참고), 19번 중 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수.

6번은 정적분 꼴의 극한을 함숫값 하나로 바꾸는 기본형입니다.

19번은 절댓값이 합성된 함수를 구간별로 나눠서 적분하는 문항입니다. 구간을 나누는 점을 정확히 찾는 것이 먼저입니다.

6. 정적분의 활용 (7·11·17·21·23번) — 5문항

7번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 11번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 17번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이, 21번 중(서술형) 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 23번 중상(서술형) 두 곡선 사이의 넓이.

7번은 교점과 구간별 부호를 정한 뒤 넓이를 나눠 더합니다.

11번은 속도 그래프에서 움직인 거리와 위치의 변화량을 구분하는 문항입니다. 부호가 바뀌는 지점에서 넓이를 나눠야 합니다.

17번 중상은 극솟값 조건으로 삼차함수를 먼저 정하고, 그다음 곡선과 x축 사이 넓이를 구합니다.

21번 서술형은 함수와 역함수의 교점, y=x 대칭을 이용해 직선과의 넓이를 두 배 하는 방식으로 접근합니다.

23번 서술형 중상은 포물선이 만드는 두 영역의 넓이 관계를 식으로 세워 해석하는 문항입니다.

주의 문항 — 상 2문항, 중상 8문항

20번 상 (함수의 극대·극소의 활용) — 절댓값 사차함수의 극값 개수. 선택형의 마지막 고비입니다.

24번 상 (서술형, 미분가능성과 극대·극소) — 미분가능 조건과 극대 개수 조건이 한 문항에 들어 있습니다.

13~18번 중상 여섯 문항 — 접선의 개수, 도함수 그래프 해석, 증가 조건, 정적분 등식 두 문항, 넓이가 연달아 나옵니다. 한 문항에서 오래 막히면 다음 문항으로 넘어가는 판단이 필요합니다.

22·23번 서술형 중상 — 실근 개수와 넓이 관계. 서술형 네 문항 중 21번만 중 난이도입니다.

신현고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 접선의 방정식, 도함수로 함수 구하기 — 1·5번 확보.
2. 같은 구간·정적분 꼴 극한 — 4·6번 확보.
3. 극대·극소와 극값의 합 — 3번 대비.
4. 사차함수의 최대·최소 — 8번 대비.
5. 속도·가속도와 운동 방향 — 2번 대비.
6. 두 함수의 차로 부등식 증명 — 12번 대비.
7. ★ 정적분을 포함한 등식(양변 미분, 대입) — 9·16·18번 대비.
8. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 19번 대비.
9. 곡선과 x축 사이의 넓이, 위치와 움직인 거리 — 7·11·17번 대비.
10. 접선의 개수 — 13번 대비.
11. 도함수의 그래프 해석, 증가 조건 — 14·15번 대비.
12. 절댓값 삼차함수의 실근 개수 — 22번 서술형 대비.
13. 역함수 대칭 넓이, 두 곡선 사이 넓이 — 21·23번 서술형 대비.
14. ★ 절댓값 함수의 극대 개수, 구간별 함수의 미분가능성 — 20·24번 대비.

자주 나오는 질문

신현고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 24문항입니다. 정답 기록상 120번은 선택형, 2124번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 정적분이 각 6문항입니다. 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 부정적분 2문항, 도함수의 활용 (1) 1문항 순입니다.

가장 어려운 문항은 어디인가요?

상 난이도는 20번과 24번 두 문항입니다. 둘 다 절댓값이 붙은 함수의 극대·극소를 다룹니다. 중상은 13~18번과 22·23번에 몰려 있습니다.

서술형은 몇 문항인가요?

정답 기록 기준 21~24번 4문항입니다. 역함수 대칭 넓이(21번), 실근의 개수(22번), 두 곡선 사이 넓이(23번), 미분가능성과 극대·극소(24번)입니다.

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