인천해원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년, 인천 서구)

인천해원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)~(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용으로, 미분 10문항과 적분 11문항이 거의 반반입니다. 서술형은 정답 기록상 17~21번 5문항이고, 상 난이도는 16번 하나입니다.

핵심 요약

• 분석표 기준 21문항 — 정답 기록상 116번 선택형, **1721번 서술형 5문항**
• 난이도: 하 4 / 중 8 / 중상 8 / 상 1
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 08 정적분 4 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 반복 유형: 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(7·11번), 위치와 위치의 변화량(6·10번), 속도·가속도와 운동 방향(1·8번)
• 상 난이도: 16번(선택형 마지막, 두 그래프의 교점의 개수)

인천해원고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인천해원고등학교는 인천 서구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 분석표 기준 21문항이고, 정답 기록을 보면 116번이 선택형, 1721번이 답을 직접 쓰는 서술형입니다.

단원은 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (2)와 정적분이 4문항씩, 부정적분 2문항, 도함수의 활용 (1)은 서술형 17번 한 문항입니다.

이 시험에는 운동 문제가 네 문항(1·8번 속도·가속도, 6·10번 위치와 위치의 변화량) 있습니다. 미분 쪽과 적분 쪽에 두 문항씩 나뉘어 있어, 속도를 미분하면 가속도, 적분하면 위치라는 관계를 양방향으로 연습해야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 상은 16번 하나

하 네 문항은 1·2·3·6번으로 앞쪽에 모여 있습니다. 속력과 가속도, 부정적분과 미분의 관계, 절댓값 정적분, 원점 출발 위치까지 기본 계산입니다.

중상은 8번에서 한 번 나온 뒤 12~15번에 네 문항 연속으로 나옵니다. 그리고 16번이 이 시험의 유일한 상 문항입니다. 선택형 12~16번 다섯 문항이 모두 중상 이상이라 후반부 부담이 큽니다.

서술형 5문항은 17·18번 중, 19·20·21번 중상입니다. 17·18번은 반드시 점수로 바꾸고, 뒤의 세 문항에서 풀이 과정을 최대한 써 내는 것이 목표입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)·정적분의 활용 각 5문항

도함수의 활용 (3) 5문항 중 4문항이 중상 이상입니다(8·13·19번 중상, 16번 상). 속도, 부등식, 교점의 개수, 실근의 개수까지 그래프를 해석하는 문항들입니다.

정적분 4문항은 하 1, 중상 3으로 갈립니다. 3번 절댓값 정적분은 쉽지만, 14·15·20번은 모두 중상입니다.

반복 유형 — 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이

곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이가 7·11번에 나왔습니다. 둘 다 중 난이도입니다.

• 7번 직선과 곡선이 접하는 점(중복된 교점)까지 포함해 모든 경계를 정하고, 두 함수의 차의 부호로 넓이를 적분합니다.
• 11번 곡선 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 접점을 구한 뒤, 두 영역에서 곡선과 접선 사이 넓이를 구합니다.

접선 단원과 넓이 단원이 한 문항에 묶인 형태입니다. 접선의 방정식을 정확히 세우는 것이 넓이 계산의 전제입니다.

위치와 위치의 변화량(6·10번) 도 두 번 나왔습니다. 6번은 원점에서 출발한 점의 위치로 매개변수를 정하는 하 문항, 10번은 동시에 출발한 두 점의 만나는 시각과 운동 방향을 판정하는 중 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) (17번) — 서술형 1문항

17번 중(서술형) 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우. 평균값 정리와 도함수의 상한으로 함숫값의 범위를 정하고, 조건에 맞는 일차함수로 그 값이 실제로 가능한지 확인합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (4·9·12·18번) — 4문항

4번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 9번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 12번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 18번 중(서술형) 최대·최소의 활용; 부피.

4번은 증가 조건을 도함수가 0 이상이라는 조건으로 바꾸고, 판별식의 경계(중근)를 포함해 정수의 개수를 셉니다.

9번은 삼차함수가 극솟값과 같은 높이를 다시 갖는 점을 인수분해로 구하고, 움직이는 구간에서의 최솟값 조건으로 정수 범위를 정합니다.

12번 중상은 우함수 성질로 사차함수의 식을 간단히 하고, 세 극값의 합과 곱 조건으로 계수를 정합니다.

18번 서술형은 반지름과 높이의 합이 주어진 상황에서 부피를 한 변수의 식으로 나타내고, 최댓값을 구합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (1·8·13·16·19번) — 5문항

1번 하 속도·가속도와 운동 방향, 8번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 13번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 16번 상 두 그래프의 교점의 개수, 19번 중상(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

1번은 속력(절댓값) 과 가속도의 부호를 구별해 두 값을 더합니다.

8번 중상은 위치를 미분한 삼차 속도 함수의 극값을 조사하고, 운동 방향이 세 번 바뀌는 조건을 만족하는 정수의 개수를 셉니다.

13번 중상은 곱의 꼴로 된 부등식을 두 부등식으로 나누고, 각 구간에서 최대·최소를 구해 정수의 개수를 셉니다.

16번 상은 주어진 조건으로 곡선의 부호와 중근 구조를 정한 뒤, 원점을 지나는 직선과 음수 쪽에서 만나는 교점 개수를 따져 계수의 최댓값을 정합니다.

19번 서술형은 두 극값의 높이를 기준으로 두 수평선의 실근 수를 각각 세고, 조건을 만족하는 자연수의 합을 구합니다.

4. 부정적분 (2·5번) — 2문항

2번 하 부정적분과 미분의 관계, 5번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

5번은 특정 함숫값을 하나의 상수로 놓고 도함수를 적분한 뒤, 처음 조건과 맞도록 그 상수를 정합니다.

5. 정적분 (3·14·15·20번) — 4문항

3번 하 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 15번 중상 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 20번 중상(서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우.

3번은 이어지는 적분 구간을 합치고 절댓값 안이 0이 되는 점에서 나눠 적분합니다.

14번 중상은 적분 함수가 극대를 갖는 조건에서 피적분함수인 이차함수가 서로 다른 두 근을 가져야 한다는 점을 끌어내고, 나머지 조건으로 근의 중복을 정합니다.

15번 중상은 평행이동된 대칭 조건에서 삼차함수의 짝수 차수항만 골라내고, 홀수 차수항이 대칭 구간에서 사라지는 성질로 정적분을 계산합니다.

20번 서술형은 적분 항등식의 최고차항을 비교해 다항함수의 차수부터 정하고, 계수를 연립해 함수를 구합니다.

6. 정적분의 활용 (6·7·10·11·21번) — 5문항

7·11번(곡선과 접선 넓이), 6·10번(위치와 위치의 변화량)은 위에서 정리했습니다.

21번 중상(서술형) 곡선과 직선 사이의 넓이. 역함수가 존재하는 조건으로 매개변수의 범위를 정하고, 곡선과 수평선 사이 넓이를 매개변수의 식으로 나타낸 뒤, 그 넓이 함수가 그리는 자취의 양 끝점으로 삼각형의 넓이를 구하는 문항입니다.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 8문항

16번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 곡선의 모양을 조건에서 추론하는 과정이 깁니다.

12~15번 중상 네 문항 — 극대·극소 계수 결정, 곱의 부등식, 정적분 함수의 극대, 우함수·기함수 정적분이 이어집니다.

8번 중상 (방향이 세 번 바뀌는 조건) — 앞쪽에 있지만 시간을 꽤 씁니다.

19·20·21번 중상 (서술형) — 실근의 개수, 정적분 등식, 넓이 함수의 자취. 서술형 마지막 세 문항이 모두 중상입니다.

인천해원고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속력과 가속도, 부정적분과 미분의 관계, 절댓값 정적분 — 1·2·3번 확보.
2. 원점 출발 위치, 두 점의 만남 — 6·10번 대비.
3. 삼차함수의 증가 조건(판별식) — 4번 대비.
4. 부정적분 관계식 — 5번 대비.
5. ★ 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 7·11번 대비.
6. 극솟값과 같은 높이의 점, 움직이는 구간의 최솟값 — 9번 대비.
7. 평균값 정리 — 17번 서술형 대비.
8. 부피의 최대 — 18번 서술형 대비.
9. 속도 함수와 운동 방향 전환 횟수 — 8번 대비.
10. 우함수 사차함수의 극값, 곱 꼴 부등식 — 12·13번 대비.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극대, 우함수·기함수 정적분 — 14·15번 대비.
12. 두 그래프의 교점 개수, 실근의 개수 — 16·19번 대비.
13. 정적분 등식(차수 결정), 넓이 함수 — 20·21번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

인천해원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 분석표 기준 21문항입니다. 정답 기록상 116번은 선택형, 1721번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용이 각 5문항입니다. 도함수의 활용 (2)와 정적분이 각 4문항, 부정적분 2문항, 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.

서술형은 몇 문항인가요?

정답 기록 기준 5문항(17~21번)입니다. 17·18번은 중, 19·20·21번은 중상입니다.

가장 어려운 문항은 무엇인가요?

상 난이도는 16번 두 그래프의 교점의 개수 하나입니다. 중상은 8문항입니다.

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