서울고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

서울고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 범위는 집합부터 무리함수까지지만, 실제 문항이 어디에 배치됐는지를 보면 이야기가 달라집니다. 서울고 1학년 2학기 기말 수학은 명제 8문항 + 함수 8문항으로 두 단원이 전체의 73%를 차지하고, 집합의 뜻·집합의 연산에서 단독 출제된 문항은 없었습니다.

핵심 요약

• 22문항. 17~20번과 22번은 답을 직접 쓰는 서술형
• 난이도: 하 3 / 중 7 / 중상 8 / 상 4
• 배치 단원: 07 명제 8문항 · 08 함수 8문항 · 09 유리함수 4 · 10 무리함수 2
• 집합의 뜻·집합의 연산 단독 문항 0개 — 진리집합 형태로만 등장
• 상 4문항은 10·15·16·21번. 이 중 둘이 명제 단원

출제 범위와 단원별 문항 수

가장 눈에 띄는 점은 집합 단원에서 독립 문항이 나오지 않았다는 것입니다. 집합 개념은 4번·10번·15번·17번처럼 진리집합의 포함 관계를 다루는 도구로만 쓰였습니다. 즉 서울고 기말을 준비할 때 집합의 연산 공식 암기보다 조건 p, q의 진리집합을 수직선 위에 정확히 그리는 능력이 훨씬 중요합니다.

무리함수는 2문항(11번 중상, 21번 상)뿐이지만 둘 다 난이도가 높습니다. 문항 수가 적다고 넘기면 상 난이도 한 문항을 통째로 잃습니다.

명제 8문항 — 진리집합이 전부

명제 단원은 교과서 순서를 그대로 훑는 구성입니다.

• 1번(하) — ‘p 그리고 q’의 부정을 ‘~p 또는 ~q’로 바꾸는 기본형
• 4번(중) — P, Q가 서로소이고 여집합끼리도 서로소라는 조건에서 Q=Pᶜ임을 끌어내 보기의 참거짓 판별
• 8번(중) — 4(a-3)+1/(a-3) 꼴로 변형해 산술평균과 기하평균 관계로 최솟값 16을 구하는 문제
• 17번(하) — 조건의 진리집합을 직접 구하는 서술형. (1) {2,3}, (2) {1,2,3}
• 19번(중상) — |x²-10|<6을 풀어 -4<x<-2, 2<x<4를 얻고 ‘어떤/모든’ 명제가 참이 되는 상수의 최댓값 M₁=3, M₂=-4를 구하는 문제
• 22번(중) — p√p+p가 무리수임을 귀류법으로 증명하는 서술형

상 난이도 두 문항도 명제에서 나왔습니다. 10번(상) 은 ~q=[-6,6]을 잡고 p가 ~q의 필요조건, ~r=[b,2b]가 ~q의 충분조건이 되는 상수 범위를 각각 구해 m+M=9를 얻습니다. 15번(상) 은 P=[-6,-2]를 구한 뒤 ~p→q가 거짓이 되는 정수가 7개라는 조건에서 a=4를 확정하고, 조각함수 f에 대해 f(k)+f(2k)=3인 정수 k의 합 11까지 구해야 합니다. 두 문항 모두 “조건 → 진리집합 → 포함 관계 → 부등식”이라는 같은 흐름이라, 이 루트를 반복 훈련하면 한 번에 대비됩니다.

함수 8문항 — 합성과 역함수 중심

2번(하) 함수의 개수(3⁴=81), 3번(중) 그래프에서 합성·역함수 함숫값, 6번(중) 치역이 공역에 포함될 조건으로 정수 m 개수, 12번(중) 축 대칭을 이용한 합성함수 값처럼 앞쪽은 표준 유형입니다.

중상 이상은 다음과 같습니다. 5번(중상) 은 그래프로 주어진 조각함수에서 (f∘f)(a)=3을 만족하는 a를 구간별로 찾아 곱 35를 구합니다. 13번(중상) 은 f(x)=x의 해를 절댓값·이차 구간별로 찾아 {-4, 0, 2, 4}를 얻고 공집합이 아닌 부분집합 개수 15를 세는 문제입니다. 20번(중상) 은 f=f⁻¹, 즉 자기역함수 성질을 이용해 x<2 구간의 식 y=-x/2+3을 복원하는 서술형입니다.

16번(상) 은 kf(|k|)=f(k)라는 관계식에 k를 하나씩 대입하고 일대일대응 조건까지 걸어 f(2)=-1, f(-2)=2를 확정한 뒤 (f∘f)(-2)=-1을 구합니다. 관계식 대입과 일대일대응 판정이 동시에 필요한 최고난도형입니다.

유리·무리함수 — 위치 관계가 핵심

유리함수 4문항 중 7번(중상) 은 유리함수와 직선이 만나지 않을 조건을 판별식 D<0으로 처리해 정수 m 3개를 구하고, 9번(중상) 은 그래프가 지나지 않는 사분면 조건에서 x절편 부호를 따져 자연수 k 8개를 셉니다. 14번(중상) 은 점근선과 대칭중심의 좌표 부호를 판정하는 보기형, 18번(중) 은 합성함수 f∘g와 g∘f의 정의역·치역을 구하는 서술형입니다.

무리함수 21번(상) 은 무리함수와 그 역함수의 교점이 y=x 위에 있음을 이용해 √(4x-k)=x-1을 세우고, 판별식에서 k<8, g(1)≥0에서 k≥4를 얻어 자연수 k 4개를 구합니다. 11번(중상) 도 같은 발상으로 f(a)=a를 세워 a=-4-√11을 구합니다. 무리함수는 “역함수와의 교점은 y=x 위” 한 가지 발상으로 두 문항이 모두 열립니다.

대비 학습 순서

1. 진리집합 수직선 훈련 — 4·10·15·17·19번형. 조건을 구간으로 바꾸고 포함 관계를 부등식으로 옮기는 연습
2. AM-GM 변형 처리 — 8번형. 상수를 떼어내 합의 최솟값 꼴로 만드는 변형
3. 조각함수 합성방정식 — 5·13번형. 구간별로 나눠 해를 빠짐없이 세기
4. 자기역함수(f=f⁻¹) 성질 — 20번형 서술 대비
5. 무리함수와 역함수의 교점 — 11·21번형. y=x 대입 후 판별식과 정의역 끝점 조건 병행
6. 귀류법 증명 답안 작성 — 22번형. √p가 무리수임을 서로소 모순으로 쓰는 흐름

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