덕수고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

덕수고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 명제부터 무리식과 무리함수까지로 집합 단원은 제외됐습니다. 서울 송파구에 있는 덕수고의 덕수고 1학년 2학기 기말 수학은 명제 7문항과 함수 7문항이 절반씩 나누어 갖는 구조이고, 상 난이도는 15번과 17번 두 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 20문항. 18~20번은 소문항으로 나뉜 서술형
• 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 7 / 상 2
• 배치 단원: 07 명제 7문항 · 08 함수 7문항 · 09 유리함수 3 · 10 무리함수 3
• 상 2문항은 15번(반복 합성 역상)과 17번(합성 고정점)
• 진리집합으로 명제의 참거짓을 판정하는 유형이 2번·7번 2회 출제

난이도 구조 — 앞 절반에서 점수 확보

1번부터 10번까지 열 문항 중 상·중상이 하나도 없습니다. 하 3문항과 중 7문항으로 구성돼 있어 전반부에서 시간을 벌고 후반 중상 구간에 투자하는 배분이 그대로 통하는 시험입니다. 11번부터 17번까지가 중상·상 구간이고, 18~20번 서술형은 다시 하·중상으로 내려옵니다.

출제 범위와 단원별 문항 수

집합 단원이 빠진 만큼 명제가 7문항으로 늘었고, 함수도 7문항입니다. 두 단원이 전체의 70% 를 차지하므로 유리·무리함수보다 여기에 시간을 먼저 배분해야 합니다.

명제 7문항 — 진리집합이 반복된다

명제의 참·거짓과 진리집합(No.3319)이 2번과 7번에 2회 나왔습니다. 2번은 p→q가 참인 것이 P⊂Q와 같고 반례가 P∩Qᶜ에 속한다는 기본 관계를 묻고, 7번은 P∪Q=P와 Pᶜ∪R=U라는 두 조건에서 Q⊂P⊂R을 끌어내 보기의 참거짓을 판정합니다.

1번(하) 은 ab=0의 부정이 a≠0이고 b≠0임을 확인하는 드모르간 적용, 3번(중) 은 충분조건에서 p→q가 참임을 쓰고 대우에 x=-3을 대입해 a=-5를 얻는 문제입니다.

중상 세 문항은 다음과 같습니다.

• 13번 — 세 보기를 제곱해서 차가 완전제곱 꼴이 되는지 확인하는 절대부등식 판별형
• 14번 — P=[k, k+4], Q=(k/2-4, k/2+4)를 구하고 명제가 거짓일 조건이 P∩Q≠∅임을 이용해 -16<k<8, 정수 23개를 세는 문제
• 19번(서술형) — 직각삼각형에서 (c/a+c/b)²을 피타고라스 정리로 변형하고 산술평균과 기하평균 관계를 두 번 적용해 최솟값 8과 등호 성립 시 세 변의 비 1:1:√2를 구하는 문제

함수 7문항 — 역함수 교점과 반복 합성

4번(하) 함수의 뜻, 8번(중) 합성 후 계수 비교로 ab=2, 9번(중) 일대일대응·항등·상수함수 조건 종합, 10번(중) 은 증가함수의 역함수 교점이 y=x 위에 있음을 이용해 x²-9x+20=0에서 x=4, 5를 얻고 두 점 사이 거리 √2를 구하는 문제입니다.

16번(중상) 은 f(x){f(x)-f⁻¹(x)}=0으로 인수분해한 뒤 f(x)=0인 경우와 f(x)=x인 경우를 각각 구간별로 풀어 근의 합 4를 구합니다. 인수분해로 두 갈래를 만드는 첫 단계를 놓치면 접근이 막힙니다.

15번(상) 은 f∘f∘f∘f(x)=3을 안쪽부터 역으로 추적하는 문제입니다. 역상을 계층별로 {3}, {-1}, {1}, {1±√2}까지 따라 내려가고, 각 단계에서 이차방정식의 근의 합이 2씩임을 이용해 총합 9를 구합니다. 역상 계층을 그림으로 그려 관리하지 않으면 중간에 경우를 빠뜨립니다.

17번(상) 은 f∘f(a)=f(a)를 t=f(a)로 놓아 f(t)=t라는 고정점 문제로 바꾸는 것이 출발점입니다. 무리함수 구간에서 -√(7-x)+1=x를 풀어 t=-2를 얻고, 다시 f(a)=-2를 만족하는 a=-2를 정의역 검증까지 거쳐 확정합니다. 합성 조건을 고정점으로 환원하는 발상이 이 시험 최고난도 포인트입니다.

유리·무리함수

5번(중) 은 점근선과 x절편으로 유리함수의 계수를 결정해 합 13을 구하는 표준형, 6번(하) 은 구간에서 증가하는 무리함수의 최소·최대를 구하는 문제입니다.

11번(중상) 은 f=a-3a/(x+1)로 변형해 점근선 교점 (-1, a)를 잡고, 기울기 -1인 직선과의 두 교점 사이 거리 PQ=6√2에서 a=3을 얻습니다. 12번(중상) 은 시작점 (3,-4)인 감소하는 무리함수가 제4사분면을 지나는 조건을 따져 정수 k의 합 27을 구합니다.

20번(중상, 서술형) 은 대칭 중심 (1,1)과 지나는 점 (-4,0)으로 a=1, b=4, c=1을 확정하고, 삼각형 넓이 조건에서 t²-8t+12=0을 풀어 t=2, 6을 구합니다.

서술형 구간

18~20번이 답과 풀이를 직접 쓰는 구간입니다. 18번은 하 난이도로 f⁻¹(1)=2에서 f(2)=1을 세워 a=-3, b=7을 구하고 f⁻¹(3)=4/3까지 계산하는 문제라 반드시 확보해야 합니다. 19번과 20번은 중상 난이도이지만 각각 AM-GM과 유리함수 그래프라는 명확한 루트가 있어, 유형을 알고 있으면 부분점수 이상을 노릴 수 있습니다.

대비 학습 순서

1. 진리집합 기본 관계 정리 — 2·7·14번형. P⊂Q, P∩Qᶜ≠∅ 같은 표현을 바로 해석하기
2. 역함수 교점은 y=x 위 — 10·16번형. 증가함수 조건 확인 후 f(x)=x 풀이
3. 반복 합성의 역상 추적 — 15번형. 계층 구조를 그림으로 정리하는 훈련
4. 합성 조건의 고정점 환원 — 17번형. f∘f(a)=f(a) → f(t)=t 발상
5. AM-GM 도형 활용 — 19번형. 피타고라스로 식을 변형한 뒤 두 번 적용
6. 유리함수 그래프와 도형 조건 결합 — 11·20번형. 점근선 교점과 넓이식 세우기

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