저현고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
저현고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용(2)까지로, 극한·연속·미분계수를 지나 함수의 증가와 감소, 극대·극소, 최대·최소 활용까지 들어갑니다. 경기도 고양시에 있는 저현고의 이번 저현고 2학년 2학기 중간 시험은 같은 학기 인근 학교보다 범위가 한 단원 더 넓고, 중상 이상이 13문항이라 체감 난이도가 높은 편입니다.
핵심 요약
- 22문항 / 21·22번은 답을 직접 쓰는 형태
- 범위가 도함수의 활용(2) 까지 확장 — 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소 포함
- 배치 단원: 03 미분계수와 도함수 8 · 02 함수의 연속 6 · 01 함수의 극한 4 · 05 도함수의 활용(2) 3 · 04 도함수의 활용(1) 1
- 난이도: 하 2 / 중 7 / 중상 9 / 상 4문항(11·19·20·21번)
- 반복 코드: 구간별 정의 함수의 미분가능성 2회(10·20번), 함수가 연속일 조건(응용) 2회(9·21번), (x−a)f(x) 꼴의 연속 2회(4·11번)
출제 범위 — 미분계수와 도함수에 8문항
저현고 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ의 문항별 배치 단원은 다음과 같습니다.
| 중단원 | 문항 수 | 해당 문항 번호 |
|---|---|---|
| 03 미분계수와 도함수 | 8 | 1, 2, 8, 10, 12, 14, 19, 20 |
| 02 함수의 연속 | 6 | 4, 6, 9, 11, 15, 21 |
| 01 함수의 극한 | 4 | 7, 16, 17, 18 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 3, 5, 22 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 13 |
대단원으로 묶으면 II 다항함수의 미분법 12문항(55%), I 함수의 극한과 연속 10문항(45%) 입니다. 범위가 도함수의 활용(2)까지 넓어진 만큼 무게중심도 미분법 쪽으로 넘어왔습니다.
주목할 점은 도함수의 활용이 4문항(3·5·13·22번)뿐이라는 것입니다. 극대·극소(3번), 증가와 감소(5번), 평균값 정리(13번), 최대·최소의 활용(22번)으로 각 유형이 하나씩만 나왔습니다. 즉 범위는 넓지만 실제 출제는 극한·연속·미분계수 18문항에 몰려 있습니다. 진도 뒤쪽을 급하게 훑느라 앞부분을 소홀히 하면 손해가 큽니다.
난이도 분포 — 중상 이상이 13문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 2 | 9% |
| 중 | 7 | 32% |
| 중상 | 9 | 41% |
| 상 | 4 | 18% |
하 난이도는 1·2번(미분법의 공식) 둘뿐입니다. 중상 9문항 + 상 4문항 = 13문항이 중상 이상이라, 22문항 중 절반 이상이 응용 문항입니다. 특히 16·17·18번이 연속으로 중상, 이어서 19·20·21번이 상으로 배치돼 후반 6문항이 통째로 고난도 구간입니다.
앞부분 문항이 상대적으로 평이하므로 1~15번을 35분 안에 정리하고 후반 7문항에 시간을 몰아주는 배분이 현실적입니다.
빈출 유형 — “연속과 미분가능성”이 이 시험의 축
1. 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 (10·20번)
10번(중) 은 기본 판정이고, 20번(상) 은 미분 불가능 조건으로 근을 배제하는 심화 형태입니다. 여기에 14번(중상, 미분가능성과 연속성) 까지 더하면 미분가능성 관련 문항이 3개입니다. 연속 조건과 좌·우 미분계수 일치 조건을 두 식으로 나눠 세우는 습관이 필수입니다.
2. 함수가 연속일 조건 (응용) (9·21번)
9번(중상) 은 분수함수가 실수 전체에서 연속일 조건, 21번(상) 은 분수식과 별도로 정의된 값이 결합된 형태로 답을 직접 써야 합니다. 분모가 0이 되는 점에서 분자도 0이 되어야 한다는 논리를 정확히 쓰는 것이 채점 포인트입니다.
3. (x−a)f(x) 꼴의 함수의 연속 (4·11번)
4번(중) 은 기본형, 11번(상) 은 계단형 개수 함수와 이차함수의 곱이라는 까다로운 형태입니다. 불연속점에서 다른 인수가 0이 되어야 곱이 연속이 된다는 구조를 이해해야 하는데, 계단형 함수가 끼면 불연속점이 여러 개라 조건도 그만큼 늘어납니다.
4. 함수의 극한 응용 (16·17·18번)
16번은 발산하는 함수로 나누는 형태의 극한 성질, 17번은 x의 부호에 따라 부등호가 바뀌는 대소 관계, 18번은 유리곡선 위의 두 점을 지나는 직선과 삼각형의 넓이를 극한으로 다루는 문항입니다. 셋 다 중상이고 연속으로 배치돼 있어, 이 구간에서 페이스가 무너지면 뒤 상 난이도 문항을 볼 시간이 없습니다.
주의해야 할 문항 — 11·19·20·21번
11번(상) 은 앞서 언급한 계단형 개수 함수와 이차함수의 곱입니다. 개수 함수의 불연속점을 모두 찾아내고, 각 지점에서 이차함수가 0이 되도록 조건을 세워야 합니다. 불연속점을 하나라도 빠뜨리면 오답입니다.
19번(상) 은 곱의 미분법을 삼차함수의 계수 결정에 활용하는 문항입니다. 미분법 자체는 어렵지 않지만, 주어진 조건을 계수에 대한 연립식으로 옮기는 단계가 관건입니다.
20번(상) 은 구간별 정의 함수에서 미분 불가능 조건을 이용해 근을 배제하는 문항입니다. “미분가능하다”가 아니라 “미분가능하지 않다”를 조건으로 쓰는 역방향 사고가 필요합니다.
21번(상) 은 서술형이라 과정 점수가 걸려 있습니다. 연속 조건을 극한값과 함숫값이 같다는 식으로 명시하고, 계산 과정을 남겨야 부분 점수라도 확보됩니다.
저현고 2학년 2학기 중간 대비 학습 순서
- 미분법 공식 반사적으로 쓰기 — 1·2번은 반드시 확보. 도함수 계산에서 시간을 벌어야 함
- 극한 응용 3종 — 0/0 꼴(절댓값 포함), 극한의 성질(발산 함수로 나누기), 대소 관계(부호에 따른 부등호 반전)
- 연속 조건 유형 정리 — (x−a)f(x) 꼴, 분수함수의 연속, 사잇값 정리의 실근 개수
- 미분가능성 조건 세우기 — 연속 + 좌·우 미분계수 일치. 10·14·20번형 반복
- 미분법 활용 — 곱의 미분법으로 계수 결정(19번형), 다항식 나눗셈에서의 미분법(12번형)
- 도함수의 활용(2) — 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소의 넓이 활용(22번형)
- 22문항 시간 배분 — 1
15번 35분, 1622번에 나머지 전부
자주 나오는 질문
저현고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?
함수의 극한부터 도함수의 활용(2) 까지입니다. 함수의 증가와 감소, 극대·극소, 최대·최소의 활용까지 포함되므로 같은 학기 다른 학교보다 범위가 넓습니다.
몇 문항인가요?
총 22문항입니다. 21·22번은 답을 직접 쓰는 형태이고 나머지는 선지를 고르는 형태입니다.
어떤 단원이 제일 많이 나왔나요?
미분계수와 도함수가 8문항으로 가장 많고, 그다음이 함수의 연속 6문항입니다. 이 두 단원만 14문항으로 전체의 64%입니다.
어려운 문항은 어디에 몰려 있나요?
상 난이도 4문항 중 3문항이 19·20·21번에 연달아 있습니다. 그 앞 16·17·18번도 모두 중상이라, 후반 7문항이 사실상 고난도 구간입니다.
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