늘푸른고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
늘푸른고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 출제 범위는 함수의 극한부터 도함수의 활용까지 수학Ⅱ 전 범위이고, 117번 객관식에 1820번 서술형이 붙는 구조입니다. 늘푸른고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ에서 눈여겨볼 지점은 상 난이도가 7문항(35%) 으로 세 문항 중 한 문항 꼴이라는 점입니다. 경기도 성남시 학군에서도 상위권 변별을 강하게 잡은 시험입니다.
핵심 요약
- 총 20문항. 1
17번 객관식, 1820번 서술형 3문항- 난이도 분포: 하 3 / 중 4 / 중상 6 / 상 7 — 상이 35%
- 배치 단원: 01 함수의 극한 5문항 · 03 미분계수와 도함수 5문항 · 02 함수의 연속 4문항 · 04 도함수의 활용(1) 3문항 · 06 도함수의 활용(3) 2문항 · 05 도함수의 활용(2) 1문항
- 최다 반복 코드: 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 4회(12·15·16·17번), 전부 상 난이도
- 서술형 20번(상)은 사차함수가 극값을 가질 조건 — 답 168
늘푸른고 수학Ⅱ 중간고사는 어떤 시험인가
늘푸른고등학교는 경기도 성남시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ는 총 20문항으로, 1번부터 17번까지 객관식, 18·19·20번이 서술형입니다.
2025학년 고2는 2015 개정 교육과정 대상이라 과목은 수학Ⅱ입니다. 범위는 I단원 함수의 극한과 연속, II단원 다항함수의 미분법 전체입니다.
문항 수가 20개로 적은 편인데 상 난이도가 7문항이라, 문항당 배점이 크고 한 문제 실점의 타격이 큽니다.
난이도 분포 — 상 7문항, 11번부터 급격히 어려워짐
| 난이도 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 하 | 3 | 15% |
| 중 | 4 | 20% |
| 중상 | 6 | 30% |
| 상 | 7 | 35% |
하 난이도는 1·2·4번뿐입니다. 유리식 0/0 꼴 극한, 평균변화율과 미분계수, 그래프가 주어진 좌·우극한 — 개념 확인 수준입니다.
난도가 꺾이는 지점은 11번입니다. 11·12번이 연속으로 상이고, 14~17번 네 문항이 전부 상입니다. 즉 11번 이후 객관식 7문항 중 6문항이 상 난이도입니다.
여기에 서술형 20번도 상이라, 상 7문항이 11번 이후에 몰려 있는 셈입니다. 앞 10문항을 얼마나 빨리 정확하게 처리하느냐가 그대로 뒤쪽 득점 기회로 이어집니다.
배치 단원별 출제 문항 수
| 배치 단원 | 문항 수 | 비중 |
|---|---|---|
| 01 함수의 극한 | 5 | 25% |
| 03 미분계수와 도함수 | 5 | 25% |
| 02 함수의 연속 | 4 | 20% |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 15% |
| 06 도함수의 활용 (3) | 2 | 10% |
| 05 도함수의 활용 (2) | 1 | 5% |
대단원으로 묶으면 I단원 함수의 극한과 연속이 9문항(45%), II단원 다항함수의 미분법이 11문항(55%) 으로 거의 반반입니다.
극한·연속 비중이 45%나 되는 건 눈여겨볼 지점입니다. 수학Ⅱ 중간을 “미분 시험”으로만 준비하면 절반을 놓칩니다. 특히 02 함수의 연속 4문항 중 서술형 18번이 포함돼 있습니다.
늘푸른고의 시그니처 — “구간별 정의 함수의 미분가능성” 4회
이 시험을 관통하는 코드는 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성입니다. 12·15·16·17번 네 문항에 들어갔고, 네 문항 모두 상 난이도입니다.
12번은 곱의 미분법·미분가능성과 연속성이 함께, 15번은 최대·최소와 미정계수 결정이 함께, 16번은 두 그래프의 교점 개수가 함께, 17번은 평균값 정리가 함께 붙었습니다. 같은 뿌리에서 매번 다른 개념을 얹은 구성입니다.
이 유형 하나를 못 잡으면 상 7문항 중 4문항이 통째로 날아갑니다. 늘푸른고 대비의 최우선 과제입니다.
이어서 함수의 그래프와 연속이 3회(6·16·17번), 접선의 방정식이 2회(11·14번) 반복됐습니다.
문항별 출제 유형
함수의 극한 (1·3·4·7·13번)
1번은 유리식 0/0 꼴 극한, 4번은 그래프가 주어진 좌·우극한으로 하 난이도입니다.
3번은 함수의 극한의 대소 관계를 ∞/∞ 꼴 극한과 묶었습니다. 부등식으로 함수를 조여 극한을 구하는 샌드위치 정리 계열입니다.
7번은 중상으로, 극한값의 존재 조건에 미분가능성과 극한의 성질까지 얹었습니다. 13번은 무리식 0/0 꼴과 결합한 극한의 활용입니다.
함수의 연속 (5·6·9·18번)
5번은 연속일 조건 + 무리식 극한 + 미정계수 결정의 결합입니다. 6번은 최대·최소 정리로, 폐구간에서 연속함수가 최댓값·최솟값을 갖는다는 정리를 그래프와 함께 물었습니다.
9번은 연속함수의 성질로, 두 함수의 합·곱이 연속일 조건을 따지는 중상 문항입니다.
서술형 18번은 함수가 연속일 조건 응용과 방정식 f(x)=k의 실근 개수를 결합했고, 미정계수 a와 b를 모두 구하는 문항입니다.
미분계수와 도함수 (2·8·12·15·19번)
2번은 평균변화율과 미분계수의 정의, 8번은 x→a 꼴 미분계수 극한 계산입니다.
12·15번은 앞서 짚은 구간별 정의 함수의 미분가능성으로 둘 다 상입니다.
서술형 19번은 항등식이 주어질 때 도함수 구하기입니다. 중 난이도로 서술형 세 문항 중 가장 무난한 자리이고, 답은 14입니다. 여기는 반드시 잡아야 합니다.
도함수의 활용 (10·11·14·16·17·20번)
11번은 접선의 방정식(상), 14번은 두 곡선의 교점에서의 접선(상)입니다. 두 곡선이 한 점에서 만나면서 접선을 공유하는 조건을 세우는 유형으로, 함숫값과 미분계수를 동시에 맞춰야 합니다.
10번은 삼차방정식의 근의 판별(중상), 16번은 두 그래프의 교점의 개수(상)입니다.
17번은 평균값 정리를 정의로 푸는 상 난이도 문항입니다. 구간별 정의 함수와 그래프 연속 판정까지 결합돼 있어 이 시험 객관식 최고난도 축에 속합니다.
서술형 18·19·20번
| 번호 | 난이도 | 핵심 유형 | 답 |
|---|---|---|---|
| 18 | 중상 | 함수가 연속일 조건 (응용) + 실근의 개수 | a=−2, b=12 |
| 19 | 중 | 항등식이 주어질 때 도함수 구하기 | 14 |
| 20 | 상 | 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건 | 168 |
20번이 이 시험의 마지막 관문입니다. 사차함수가 극값을 가질 조건을 다루려면 f′(x)=0인 삼차방정식의 실근 상황을 분류해야 합니다. 극값을 “갖지 않을 조건”과 짝으로 정리해 두면 케이스를 놓치지 않습니다.
서술형은 답만으로 점수를 주지 않습니다. 조건식을 세운 근거, 케이스 분류 이유를 문장으로 남겨야 부분 점수를 확보할 수 있습니다.
늘푸른고 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 구간별 정의 함수의 미분가능성 집중 훈련 — 12·15·16·17번형. 연속 조건과 미분가능 조건 2단 세팅을 손에 익힐 것
- 극한의 대소 관계·존재 조건 — 3·7번형. 부등식으로 조이는 문제와 좌우극한 일치 조건
- 연속함수의 성질과 최대·최소 정리 — 6·9번형. 정리의 가정(폐구간·연속)을 정확히 기억
- 접선의 방정식 심화 — 11·14번형. 두 곡선의 공통접선, 접점 미지수 설정
- 사차함수 극값 조건 — 서술형 20번형. f′(x)=0의 실근 개수로 케이스 분류
- 서술형 답안 작성 연습 — 18·19·20번 3문항 배점이 크므로 논리 전개를 문장으로 쓰는 훈련
자주 나오는 질문
늘푸른고 2학년 2학기 중간 수학Ⅱ 범위는 어디까지인가요?
함수의 극한부터 도함수의 활용까지입니다. 01 함수의 극한, 02 함수의 연속, 03 미분계수와 도함수, 04~06 도함수의 활용이 모두 포함됩니다.
서술형은 몇 문항인가요?
18·19·20번 세 문항입니다. 18번은 연속일 조건 응용, 19번은 항등식과 도함수, 20번은 사차함수의 극값 조건이었습니다.
어떤 유형을 가장 먼저 잡아야 하나요?
구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성입니다. 12·15·16·17번 네 문항에 반복 등장했고 전부 상 난이도입니다.
과년도 늘푸른고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 회차가 없다면 내신판에서 시험지 요청을 남기면 팀이 확보를 시도합니다.
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2025학년 늘푸른고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 원문(HWP)은 내신판에서 바로 다운로드할 수 있습니다. 위 문항별 단원·유형·난이도 분석도 원문 기준으로 정리한 것입니다.
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