대진여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

대진여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 미분 쪽 12문항, 적분 쪽 9문항으로 미분이 조금 더 무겁습니다. 이 시험에서 가장 눈여겨볼 곳은 6~9번 네 문항입니다. 상 1문항(9번)과 중상 2문항(6·8번)이 여기 모여 있고, 세 문항 모두 방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 다룹니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 116번 선택형, **1721번 서술형 5문항**
• 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 7 / 상 1
• 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 8 / 정적분 5 / 도함수의 활용 (2) 4 / 정적분의 활용 4
• 접선 단원(도함수의 활용 (1))에 배치된 문항은 0개
• 세 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(6·8·9번)

대진여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

대진여자고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 고2는 2015 개정 교육과정이 적용되는 학년으로, 이 시험은 수학Ⅱ 2학기 기말고사입니다. 총 21문항이고, 정답 기록 기준으로 116번은 선택형, 1721번 다섯 문항은 서술형입니다.

배치 단원을 크게 묶으면 이렇습니다.

• 미분 쪽 12문항 — 도함수의 활용 (3) 8 · 도함수의 활용 (2) 4
• 적분 쪽 9문항 — 정적분 5 · 정적분의 활용 4

시험 범위 이름에는 접선의 방정식이 들어 있지만, 배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)(접선) 문항은 0개입니다.

배치 순서는 비교적 단원 순서를 따릅니다. 19번이 미분(도함수의 활용), 1016번이 적분입니다. 서술형 17~21번에서 다시 미분 3문항(17·18·19번), 적분 2문항(20·21번)이 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항, 상 1문항

중 난이도가 절반 가까이입니다. 서술형 다섯 문항 중에서도 19번 하나만 중상이고 나머지 네 문항은 중입니다.

하 3문항은 2·10·11번입니다. 2번은 미분 파트의 첫 계산, 10·11번은 적분 파트의 첫 두 문항입니다. 각 파트의 입구에 쉬운 문항이 놓인 구조입니다.

어려운 문항은 두 구간에 몰려 있습니다. 6~9번(미분 후반) 에 중상 2·상 1, 12~15번(적분 중반) 에 중상 4문항입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)이 8문항

도함수의 활용 (3) 8문항은 속도(2번), 부피의 변화율(3번), 삼차방정식의 근(4번), 부등식(7·19번), 실근의 개수(6·8·9번)로 이루어져 있습니다.

정적분 5문항에서는 12·13·14번 세 문항이 연속으로 중상입니다. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(12·14번)와 정적분을 포함한 등식(13번)입니다.

도함수의 활용 (2) 4문항은 모두 중입니다. 극대·극소를 이용한 미정계수 결정(1·17번), 구간에서 증가하기 위한 조건(5번), 최대·최소(18번)입니다.

시그니처 유형 — 6·8·9번 “방정식 f(x)=k의 실근의 개수”

6·8·9번 세 문항에 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 유형이 들어 있습니다. 9번은 이 유형이 주 유형이고, 6·8번은 다른 유형과 결합된 형태입니다.

• 6번 중상 — 함수의 극대·극소의 활용과 결합. 조각함수에서 연속 조건으로 계수를 줄이고, 극값의 곱을 판정한 뒤 수평선과의 교점 수로 보기를 판단합니다.
• 8번 중상 — 미분가능성과 연속성과 결합. 절댓값 함수에서 극한이 유한하게 되는 영점 구조를 정하고, 음수인 수평선과의 교점 배치를 따집니다.
• 9번 상 — 우미분 조건과 수평선의 실근 수. 구간 경계에서의 우미분으로 구조를 찾고, 삼차 도함수의 부호, 반직선 치역의 겹침까지 따지는 네 단계 문항입니다.

세 문항 모두 조각함수나 절댓값처럼 구간이 나뉘는 함수에 수평선을 긋는 구조입니다. 그래프를 구간별로 정확히 그리는 연습이 이 시험의 핵심입니다.

이 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 1번(중) · 17번(중, 서술형)
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 10번(하) · 20번(중, 서술형)
• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 12번(중상) · 14번(중상)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·5·17·18번) — 4문항, 전부 중

1번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 극값 조건으로 삼차함수의 계수를 결정하고 다른 극값을 계산합니다.

5번 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 — 조각으로 정의된 삼차함수의 증가 조건과 연속 조건을 함께 씁니다.

17번 (서술형) 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 대칭인 도함수와 극댓값·극솟값의 차로 함수를 결정합니다.

18번 (서술형) 함수의 최대·최소 — 사차함수의 닫힌 구간 최대·최소에서, 구간 끝점과 극값을 비교하고 자연수 구간에서 조건을 처음 만족하는 경우를 찾습니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·3·4·6·7·8·9·19번) — 8문항

2번 하 속도 — 위치를 미분해 속도를 구하고 대입합니다.

3번 중 시각에 대한 부피의 변화율 — 닮은 원뿔에서 수면 반지름을 닮음으로 설정하고 부피를 미분합니다.

4번 중 삼차방정식의 근의 판별 — 세 실근을 가질 조건에서 삼차함수의 극값 사이 구간을 구하고, 경계를 제외한 정수 개수를 셉니다.

6·8·9번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 위 시그니처 유형 참고.

7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용 — 치환으로 얻은 닫힌 구간에서 끝점과 정지점의 최솟값을 비교합니다.

19번 중상 (서술형) 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 양쪽 부등식에서 계수의 위아래 제약을 얻고, 대칭인 최소점으로 계수를 정한 뒤 미분값을 구합니다.

3. 정적분 (10·12·13·14·20번) — 5문항

10번 하 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 정적분을 계산해 상수 등식을 정리합니다.

12번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 이차식을 정한 뒤 적분함수의 극값과 절댓값 방정식의 근의 수를 연결합니다.

13번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 자연수 계수 조건이 붙은 적분 등식으로, 후보를 좁힌 뒤 미분 부호로 판정합니다.

14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 적분함수가 극값을 하나만 가질 조건으로 매개변수의 경계를 구합니다.

20번 중 (서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 함수 등식을 연립해 함수를 구한 뒤 닫힌 구간에서 정적분합니다.

4. 정적분의 활용 (11·15·16·21번) — 4문항

11번 하 곡선과 x축 사이의 넓이 — 절댓값이 들어간 곡선과 x축 사이 넓이입니다. 부호가 정해진 구간이라 한 번에 적분됩니다.

15번 중상 두 곡선 사이의 넓이 — 대칭인 삼차함수와 포물선 사이의 넓이로, 교점과 부호를 구한 뒤 모든 유계 영역을 적분합니다.

16번 중 움직인 거리 — 첫 방향 전환 뒤 되돌아오는 시각까지의 총 이동 거리를 구간별로 더합니다.

21번 중 (서술형) 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 세 부분으로 나뉜 넓이가 등차 관계를 이루는 조건을 씁니다.

주의 문항 — 중상 이상 8문항

6번 중상 (조각함수 극값과 실근) — 미분 파트에서 처음 만나는 고비입니다.

8번 중상 (절댓값 함수와 실근) — 미분가능성과 극한 조건을 함께 따집니다.

9번 상 (우미분과 실근의 개수) — 이 시험 유일한 상입니다. 선택형 앞쪽(9번)에 놓여 있어 시간 배분에 주의하세요.

12·13·14번 중상 (정적분 연속 3문항) — 적분 파트 중반의 고비입니다.

15번 중상 (대칭 삼차와 포물선 사이 넓이) — 교점이 여러 개라 영역을 빠짐없이 나눠야 합니다.

19번 중상 (서술형, 전 구간 부등식) — 서술형 중 유일한 중상입니다.

대진여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도와 변화율 — 2·3번 대비. 확보 구간.
2. 극대·극소를 이용한 미정계수 결정 — 1·17번 대비.
3. 구간에서 증가하기 위한 조건(조각함수) — 5번 대비.
4. 삼차방정식의 근의 판별 — 4번 대비. 극값 사이 정수 세기.
5. ★ 조각함수·절댓값 함수의 실근의 개수 — 6·8·9번 대비. 이 시험의 시그니처.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 7·19번 대비.
7. 닫힌 구간 최대·최소 — 18번 서술형 대비.
8. 정적분을 포함한 등식(상수 끝) — 10·20번 대비.
9. 곡선과 x축 사이 넓이 — 11번 대비. 확보 구간.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 12·14번 대비.
11. 정적분을 포함한 등식(변수 끝) — 13번 대비.
12. 두 곡선 사이의 넓이 — 15번 대비.
13. 움직인 거리 — 16번 대비. 방향 전환 시각부터.
14. 넓이의 등차 조건 — 21번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

대진여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 116번은 선택형, 1721번 다섯 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 5문항, 도함수의 활용 (2)·정적분의 활용 각 4문항입니다.

접선의 방정식은 나오나요?

배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)(접선) 문항은 0개입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 9번 한 문항입니다. 우미분 조건과 방정식의 실근의 개수를 결합한 문항입니다. 바로 앞 6·8번(중상)도 같은 실근 개수 유형이 섞여 있어, 6~9번 구간이 실질적인 고비입니다.

서술형은 어렵나요?

다섯 문항 중 17·18·20·21번은 중, 19번만 중상입니다. 풀이 과정을 정리하는 연습만 되어 있으면 충분히 확보할 수 있는 구성입니다.

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