서울 노원구 청원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

이 글은 서울 노원구 청원고등학교 시험지 분석입니다. 충북 청주시에도 같은 이름의 청원고가 있으니 학교를 확인하고 읽어 주세요.

청원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 여섯 단원입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 선택형 4~12번 아홉 문항이 전부 중상 이상이라는 점입니다. 중상이 9문항으로 중(6문항)보다 많습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 112번 선택형, 1320번 답을 직접 쓰는 형태(8문항)
• 배점: 1·2번 4점, 35번 4.5점, 69번 5점, 1012번 5.5점, 1315번 4점, 16~20번 각 6점(합계 100점)
• 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 9 / 상 3
• 배치 단원: 08 정적분 9 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 09 정적분의 활용 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1 / 07 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 4회(7·12·18·20번)

청원고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

서울 노원구 청원고등학교의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 112번은 선택형, 1320번 여덟 문항은 답을 직접 쓰는 형태이고, 그중 19·20번은 풀이 과정을 쓰는 서술형입니다.

배점을 보면 선택형 12문항이 58점, 13~20번 여덟 문항이 42점입니다. 선택형은 4점에서 5.5점까지 번호 순으로 올라가고, 13~15번은 4점, 16~20번 다섯 문항이 각 6점입니다. 시험 마지막 다섯 문항에 30점이 걸려 있습니다.

단원은 정적분 한 단원이 9문항, 45점으로 시험의 절반 가까이를 차지합니다. 도함수의 활용 (1)·(2)·(3)을 합쳐도 8문항, 39.5점입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9문항

이 시험의 난이도 배치는 독특합니다. 1~3번만 중이고, 4번부터 12번까지 아홉 문항이 전부 중상 또는 상입니다. 선택형 후반이 아니라 선택형 한가운데가 통째로 고난도 구간입니다.

반대로 하 2문항(13·15번)은 답을 직접 쓰는 구간에 있습니다. 13~15번은 하·중·하로 비교적 평이하고 각 4점입니다. 선택형에서 막혔을 때 13~15번을 먼저 풀어 12점을 확보하는 것이 현실적인 순서입니다.

배점과 겹쳐 보면 상 3문항이 17.5점, 중상 9문항이 46점입니다. 중상 이상 12문항이 63.5점이라, 고난도 문항을 얼마나 지키느냐가 점수를 결정합니다.

출제 단원 — 정적분 9문항, 45점

정적분 9문항 중 4문항이 “적분 구간이 상수인 정적분 등식” 입니다. 하 2문항(13·15번)도 정적분 단원이라, 정적분 한 단원 안에 쉬운 계산부터 상 문항(18번)까지 다 들어 있습니다.

도함수의 활용 (2) 3문항은 수는 적지만 상 2문항(10·17번)을 가져갔습니다. 극대·극소를 활용하는 고난도 문항이 이 단원에서 나왔습니다.

시그니처 유형 — 적분 구간이 상수인 정적분 등식 4회

정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우가 7·12·18·20번 네 문항, 합계 22.5점입니다.

• 7번 중상(5점) 도함수 그래프와 적분상수
• 12번 중상(5.5점) 도함수와 적분 조건에서 계수
• 18번 상(6점) 이동 구간 최대와 적분 조건
• 20번 중(6점, 서술형) 상수 정적분에서 함수 복원

네 문항의 공통 원리는 적분 구간이 상수인 정적분은 하나의 숫자라는 것입니다. 그 정적분을 상수로 두고 원래 식에 대입해 방정식을 세웁니다. 20번은 이 원리를 그대로 쓰는 서술형이고, 7·12번은 도함수의 그래프나 계수 조건, 18번은 이동 구간의 최댓값과 결합된 심화형입니다.

여기에 속도·가속도와 운동 방향이 6번(중상)과 19번(중, 서술형)에서 두 번 나왔습니다. 6번은 속도가 0이 되는 시각과 방향 변화, 19번은 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 위치를 묻습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1)·(2) (2·3·10·17번)

2번 중 최대·최소의 활용; 넓이 · 직사각형 넓이의 최대, 3번 중 곡선과 직선이 접할 때 · 기울기 조건과 곡선의 접선, 10번 상 함수의 극대·극소의 활용 · 미분가능성과 삼차함수 극값, 17번 상(6점) 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 · 두 구간 최솟값 차의 구조.

10번은 미분가능성과 삼차함수의 극값이 결합된 상 문항입니다. 미분 불가능한 점과 중근 구조를 읽고, 극댓값 조건으로 매개변수를 정하는 여러 단계가 이어집니다.

17번은 두 구간에서의 최솟값을 비교하며 사차함수를 복원하는 문항입니다. 답을 직접 쓰는 6점 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (5·6·14·19번) — 4문항

5번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 6번 중상 속도·가속도와 운동 방향 · 속도의 영점과 방향 변화, 14번 중(4점) 시각에 대한 넓이의 변화율 · 원의 넓이의 시간 변화율, 19번 중(6점, 서술형) 속도·가속도와 운동 방향 · 운동 방향 변화에서 위치.

운동 방향이 바뀌는 순간은 속도의 부호가 바뀌는 순간입니다. 속도가 0인 시각을 찾은 뒤 앞뒤 부호가 실제로 바뀌는지 확인해야 합니다. 서술형 19번에서는 이 확인 과정을 답안에 적어야 합니다.

14번 원의 넓이 변화율은 반지름을 시각 t의 식으로 놓고 넓이 πr²을 t로 미분하는 교과서 대표 유형입니다.

3. 부정적분 (16번) — 1문항

16번 중상(6점) 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 · 적분과 곱의 미분 항등식.

관계식의 양변을 미분할 때 곱의 미분법이 필요한 형태입니다. 미분한 뒤 적분상수 조건을 빠뜨리지 마세요.

4. 정적분 (1·7·8·11·12·13·15·18·20번) — 9문항

1번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 · 정적분 항등식과 함수의 최소, 8번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 · 절댓값 최대 함수의 정적분, 11번 중상 그래프와 정적분으로 정의된 함수 · 정적분 함수의 그래프 해석, 13번 하(4점) 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 · 절댓값 정적분의 구간 분할, 15번 하(4점) 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 · 공식에 따른 정적분 계산, 7·12·18·20번 시그니처 유형 참고.

1번처럼 위끝에 변수가 있는 등식은 양변을 미분해 f(x)를 얻는 것이 출발점입니다. 11번은 정적분으로 정의된 함수의 그래프를 해석하는 문항으로, 피적분함수의 부호가 곧 정적분 함수의 증가·감소입니다.

13·15번은 하 난이도입니다. 13번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나누는 것, 15번은 같은 구간 정적분을 합치는 공식이 전부입니다.

5. 정적분의 활용 (4·9번) — 2문항

4번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 9번 중상 움직인 거리 · 운동 방향과 위치의 적분.

4번은 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 점을 이용해 넓이를 옮겨 계산하는 유형입니다. 9번은 운동 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 나눠 움직인 거리를 구해야 합니다.

주의 문항 — 상 3문항, 중상 9문항

10번 상 (미분가능성과 삼차함수 극값, 5.5점) — 선택형 유일한 상입니다. 4~12번 고난도 구간 한가운데 있습니다.

17번 상 (두 구간 최솟값과 사차함수, 6점) — 답을 직접 쓰는 문항 중 최고 난도입니다.

18번 상 (이동 구간 최대와 적분 조건, 6점) — 시그니처 유형의 최심화 문항입니다.

4~9·11·12번 중상 — 역함수 대칭 넓이, 모든 실수 부등식, 속도와 방향, 상수 구간 정적분 등식, 정적분으로 정의된 함수, 움직인 거리. 선택형 한가운데 여덟 문항입니다.

16번 중상 (부정적분 관계식, 6점) — 곱의 미분이 들어가는 관계식입니다.

청원고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 공식 계산, 절댓값 정적분 — 13·15번 대비. 하 두 문항, 8점 확보.
2. 넓이의 최대, 곡선과 직선이 접할 조건 — 2·3번 대비.
3. 원의 넓이의 시간 변화율 — 14번 대비.
4. ★ 적분 구간이 상수인 정적분 등식 — 7·12·18·20번 대비. 22.5점짜리 시그니처.
5. 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 1번 대비. 양변 미분.
6. 정적분으로 정의된 함수의 그래프와 최대·최소 — 8·11번 대비.
7. ★ 속도의 부호와 운동 방향 — 6·9·19번 대비. 19번은 서술형.
8. 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 5번 대비.
9. 역함수 대칭을 이용한 넓이 — 4번 대비.
10. 함수와 부정적분 관계식(곱의 미분) — 16번 대비.
11. 미분가능성과 삼차함수 극값 — 10번 대비.
12. 최대·최소를 이용한 사차함수 복원 — 17번 대비.

자주 나오는 질문

청원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 112번은 선택형, 1320번 여덟 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배점은 어떻게 되나요?

1·2번 4점, 35번 4.5점, 69번 5점, 1012번 5.5점, 1315번 4점, 16~20번 각 6점으로 합계 100점입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 9문항, 45점입니다. 이어서 도함수의 활용 (3) 4문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 정적분의 활용 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 10·17·18번 세 문항(17.5점) 입니다. 다만 이 시험은 중상이 9문항으로 많아서, 4~12번 선택형 구간 전체가 고난도라고 보는 편이 정확합니다.

충북 청주의 청원고와 같은 학교인가요?

아닙니다. 이 글은 서울 노원구 청원고등학교 시험지입니다.

과년도 청원고 기출도 볼 수 있나요?

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