능곡고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

능곡고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 23문항으로, 이번에 살펴본 고양시 학교들 중 문항 수가 가장 많습니다. 출제 범위는 평면좌표부터 집합까지입니다. 능곡고 1학년 2학기 중간 공통수학2의 구조는 앞뒤가 확실히 갈립니다. 1~5번이 모두 난이도 ‘하’인 반면, 10번 이후로는 중상 난이도가 열 문항이나 몰려 있습니다.

핵심 요약

• 23문항, 난이도 하 5 / 중 6 / 중상 10 / 상 2
• 1~5번이 전부 ‘하’ — 초반 5문항은 공식 직접 대입 수준
• 출제 단원: 03 원의 방정식(6) / 06 집합의 연산(4) / 05 집합의 뜻과 표현(4) / 02 직선의 방정식(4) / 04 도형의 이동(3) / 01 평면좌표(2)
• 상 2문항은 18번(x축 접 원 + 두 원 외접), 22번(삼각형 넓이 삼등분 직선)
• 23번에 삼각형의 내심 좌표라는 비교적 드문 유형 배치

능곡고 공통수학2 중간고사는 어떤 시험인가

능곡고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 23문항으로, 공통수학2 I단원 도형의 방정식 전체(평면좌표·직선·원·도형의 이동)와 II단원 집합 파트를 함께 평가합니다. 명제와 함수는 이번 범위에 없습니다.

대단원으로 나누면 I 도형의 방정식 15문항(65%), II 집합 8문항(35%) 입니다. 도형 쪽 비중이 크지만, 집합 8문항 중 5문항이 중상 이상이라 체감 부담은 비슷합니다.

난이도 분포 — 중상이 10문항, 이 시험의 몸통

일반적인 시험이 ‘중’을 가장 두껍게 배치하는 데 비해, 능곡고는 중상 10문항이 몸통입니다. 하 5문항과 중 6문항, 즉 11문항까지는 무난하게 통과하더라도 나머지 12문항이 전부 중상 이상이라, 중간 성적대에서 점수가 크게 벌어지는 구조입니다.

하 5문항(1~5번) 은 정말 기본입니다. 1번은 ‘인기 있는·많은·잘하는·큰’ 같은 표현이 집합이 되는지 판별, 2번은 수직선 내분점 공식 대입, 3번은 평행이동 규칙을 그대로 적용, 4번은 기울기 곱이 -1, 5번은 원 위의 점에서의 접선 공식 대입입니다. 다섯 문항 모두 한 호흡에 끝나므로 여기서 시간을 아껴 뒤쪽에 써야 합니다.

출제 단원 — 원 6문항, 집합 계열 8문항

원의 방정식 6문항이 최다지만, 직선·집합 계열도 각각 4문항씩 고르게 깔려 있어 특정 단원만 파는 대비는 통하지 않습니다. 평면좌표는 2문항뿐인데 그중 하나가 23번 내심 좌표(중상)라 방심할 수 없습니다.

조심해야 할 상 난이도 2문항

18번 — x축에 접하는 원 + 두 원의 외접 (상)

원 C의 중심 (-1, 3)과 반지름 3이 x축에 접한다는 점을 먼저 파악하고, C₁의 중심을 (a, 1)로 두어 중심거리 4에서 a=-1-2√3을 결정합니다. 다음이 진짜 관문인데, 세 원의 중심이 한 직선 위에 있다는 조건을 스스로 세워 기울기 1/√3을 얻고 b+1=√3(r-3)을 만들어야 합니다. 여기에 외접 조건 (b+1)²+(r-3)²=(3+r)²를 대입하면 4(r-3)²=(r+3)²가 되고, r>3에서 r=9, k=81이 나옵니다. 외접과 공선 두 조건을 결합하라는 지시가 없어서 체감 난이도가 높습니다.

22번 — 삼각형의 넓이를 삼등분하는 직선 (상)

직선 l이 원점 O와 선분 AB 위의 점 P를 지나므로, 두 삼각형의 넓이비가 AP:PB와 같다는 성질에서 출발합니다. 넓이를 삼등분하려면 AP:PB가 1:2 또는 2:1이어야 한다는 경우 분류를 스스로 해야 합니다. 각 경우에 P(5, 5)와 P(7, 4)를 구하고 나머지 변의 중점을 잡아 기울기 7과 2/11을 얻으면, 합 79/11에서 p+q=90입니다.

중상 10문항 — 어디를 파야 하나

중상이 열 문항이라 이 구간을 어떻게 나누느냐가 대비 전략의 전부입니다. 유형별로 묶으면 이렇습니다.

원 계열 (14·20번)

• 14번 — 원 위의 점과 직선 사이의 거리 — AB=√10과 직선 x-3y+10=0을 구하고, 원점과의 거리 √10에 반지름 2√2를 더해 높이 최댓값을 잡습니다. 넓이 5+2√5에서 a+b=7입니다.
• 20번 — 두 종류의 접선 결합 — A(-3, 0)에서의 접선 x=-3을 큰 원에 대입해 B(-3, √7)을 확정하고, 접점 C(a, b)에서의 접선 ax+by=9가 B를 지난다는 조건과 a²+b²=9를 연립합니다.

직선·평면좌표 계열 (12·17·23번)

• 12번 — 점과 직선 사이의 거리 — 내분점 P를 m, n으로 매개 표현한 뒤 거리 조건에서 5m=4n을 얻고, 10보다 작은 자연수 조건으로 m=4, n=5를 확정합니다.
• 17번 — 정점을 지나는 직선 — y=a(x+2)+b로 정리해 a에 관계없이 항상 지나는 정점 (-2, b) 를 찾는 것이 핵심입니다. 정점과 두 경계점을 잇는 기울기를 주어진 범위의 양 끝값과 대응시켜 b=4를 확정합니다.
• 23번 — 삼각형의 내심 좌표 — 두 직선을 연립해 A(-1, -1)을 구하고 x절편으로 B, C를 잡습니다. 세 변의 길이를 구해 각의 이등분선의 성질로 D를 찾고, 내심이 AD를 7:5로 내분함을 적용합니다. 무게중심·외심은 자주 나오지만 내심은 상대적으로 드무니 공식을 꼭 정리해 두세요.

집합 계열 (10·16·19·21번)

• 10번 — 배수와 약수의 집합의 연산 — 배수집합의 교집합이 최소공배수의 배수집합이 된다는 변환이 핵심입니다. A₁₀∩A₆=A₃₀, A₁₀∩A₈=A₄₀, 그리고 A₃₀∩A₄₀=A₁₂₀이 공집합임을 확인합니다.
• 16번 — 원소의 개수 활용 — 모두 다녀온 수를 x, 아무것도 아닌 수를 y로 두면 11x+6y=40이 나오고, 음이 아닌 정수해가 x=2, y=3뿐임을 확인합니다. 부정방정식 처리가 들어간 문항입니다.
• 19번 — 포함 관계가 성립할 조건 — A₄₅={1, 3, …, 15}를 확정한 뒤, 포함 조건이 ‘17을 갖지 않을 것’과 동치임을 도출해 √(5n)<17에서 n≤57을 얻습니다.
• 21번 — 특정 원소를 갖는 부분집합의 개수 — 서로소 조건을 A∩B⊂X로 바꿔 X가 6을 반드시 포함함을 도출하고, 2^(n(A)-1)=4에서 k=7을 구합니다.

도형의 이동 (15번)

15번 — 대칭이동을 이용한 거리의 최솟값 — A를 y=x에 대칭한 A’(1, 3)과 x축에 대칭한 A”(3, -1)을 잡아 삼각형 둘레를 하나의 선분 A’A”=2√5로 환원합니다. 두 축(직선)에 대해 각각 대칭시키는 표준 유형입니다.

선수 내용 점검 포인트

선수 유형에서는 이차방정식의 풀이(8·20·21번) 와 일차방정식(7·12·17번) 이 각각 3회씩 걸려 있습니다. 도형 문제를 세운 뒤 마무리가 결국 방정식 계산이므로, 이 부분에서 실수하면 접근을 옳게 하고도 점수를 잃습니다. 그 외에 공배수와 최소공배수(10번), 정수 조건의 부정방정식(16번), 제곱근의 대소 관계(19번)가 각 1회씩 등장합니다.

기말 대비 학습 순서 제안

1. 원의 방정식 심화 — 접선 두 종류, 현의 길이, 원 위의 점과 직선 사이의 거리, 두 원의 위치 관계까지. 6문항이 걸린 최다 단원입니다.
2. 집합 연산의 변환 훈련 — 배수집합↔최소공배수, 서로소↔포함 관계 같은 말을 식으로 바꾸는 연습이 중상 구간의 핵심입니다.
3. 평면좌표 삼심 정리 — 무게중심·외심·내심 좌표를 모두 정리하세요. 23번처럼 내심이 나오면 각의 이등분선 성질이 필수입니다.
4. 경우 분류형 문제 연습 — 18번과 22번 모두 문제에 지시가 없는 상태에서 경우를 나눠야 하는 유형입니다.
5. 명제·함수 선행 — 이번 중간 범위에서 빠졌으므로 기말 비중이 커질 수 있습니다.
6. 능곡고 2025학년 중간 기출 실전 풀이 — 1~5번을 몇 분에 끊고 넘어가는지가 23문항 완주의 관건입니다.

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