덕이고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2 기출 분석 (2025학년)

덕이고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 출제 범위가 특이합니다. 평면좌표부터 도형의 이동까지, 그리고 함수입니다. 집합과 명제를 건너뛰고 함수를 먼저 다뤘습니다. 덕이고 1학년 2학기 중간 공통수학2를 준비할 때 다른 학교 기출을 그대로 참고하면 안 되는 이유가 여기에 있습니다.

핵심 요약

• 21문항, 난이도 하 6 / 중 3 / 중상 9 / 상 3
• 출제 범위에 집합·명제가 없고 함수가 포함됨 (다른 고양시 학교와 다름)
• 출제 단원: 03 원의 방정식(6) / 01 평면좌표(5) / 08 함수(5) / 04 도형의 이동(3) / 02 직선의 방정식(2)
• 평면좌표 5문항 중 3문항이 무게중심·외심·내심 — 삼각형의 중심 총정리
• 상 3문항은 18번(내분점 응용), 19번(양 축 접 원), 21번(합성함수 조건, 서술형)

덕이고 공통수학2 중간고사는 어떤 시험인가

덕이고등학교는 경기도 고양시에 있는 고등학교입니다. 2025학년 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 총 21문항입니다. 21번은 (1)·(2) 소문항으로 나뉜 서술형입니다.

가장 먼저 확인해야 할 것은 출제 범위입니다. 같은 고양시 안에서도 대부분의 학교가 ‘평면좌표~집합’으로 범위를 잡은 반면, 덕이고는 도형의 방정식 전체(평면좌표·직선·원·도형의 이동)에 함수 단원을 붙이고 집합·명제를 뺐습니다. 대단원으로는 I 도형의 방정식 16문항(76%), III 함수 5문항(24%) 입니다.

난이도 분포 — 앞 6문항이 전부 ‘하’, 뒤로 갈수록 급해짐

1~6번이 모두 ‘하’ 입니다. 수직선 내분점 공식 대입(1번), 평행 조건에서 기울기 비교(2번), x축 대칭이동 규칙 적용(3번), 그래프가 함수인지 세로선으로 판별(4번), (f∘f)(1) 계산(5번), 거리 공식 빈칸 채우기(6번)까지 모두 한 호흡에 끝납니다.

반면 9번부터 21번까지 13문항 중 12문항이 중상 이상입니다. 앞부분에서 확보한 시간을 뒤에 쏟아붓는 전형적인 구조라, 초반 6문항을 얼마나 빨리 끊는지가 실전 점수를 좌우합니다.

출제 단원 — 원 6문항, 평면좌표·함수 각 5문항

직선의 방정식이 2문항뿐이라는 점이 눈에 띕니다. 그 대신 평면좌표가 5문항으로 늘었고, 함수가 통째로 5문항 들어왔습니다.

이 시험의 시그니처 — 무게중심·외심·내심 3연타

덕이고 중간고사에서 가장 특징적인 구성은 평면좌표 5문항 중 3문항이 삼각형의 중심을 묻는다는 점입니다.

• 7번 — 무게중심 (중) — A(-1, 3), B(5, -3), C(8, 6)의 무게중심 G(4, 2)를 구한 뒤, 주어진 직선의 기울기 1/4에서 수직 기울기 -4를 얻어 y=-4x+18을 세웁니다.
• 10번 — 외심 (중상) — 세 직선을 두 개씩 연립해 꼭짓점 O(0, 0), A(0, 2), B(12, -4)를 구하고, OA의 수직이등분선 y=1과 OB의 수직이등분선 y=3x-20을 연립해 외심 (7, 1)을 얻습니다.
• 16번 — 내심 (중상) — 대응점 A(12, 0)과 D(19, 6)에서 평행이동 성분 (7, 6)을 찾아 C, E를 결정합니다. 세 변이 12, 5, 13인 직각삼각형의 넓이 관계로 내접원 반지름 2를 구하고, 직각 꼭짓점에서 반지름만큼 안쪽인 (9, 8)을 중심으로 잡습니다.

무게중심은 어느 학교나 나오지만, 외심과 내심을 같은 시험에서 함께 묻는 경우는 흔치 않습니다. 수직이등분선의 교점(외심), 각의 이등분선과 넓이 관계(내심)를 반드시 정리해 두세요.

조심해야 할 상 난이도 3문항

18번 — 선분의 내분점 응용 (상)

P의 좌표를 문자 a로 표현한 채 다뤄야 하는 것이 첫 부담입니다. 삼각형 APQ와 ABO가 각 A를 공유한다는 점을 이용해 넓이비를 변의 비로 옮겨 AQ:AO=3:4를 도출합니다. Q(-2, a/4)를 구한 뒤 C·Q·P가 한 직선 위에 있다는 조건에서 a=4를 결정하고, 마지막으로 PQ²=605/9를 계산합니다.

19번 — x축, y축에 동시에 접하는 원 (상)

두 축에 동시에 접하면 중심의 두 좌표의 절댓값이 같으므로 중심이 y=x 또는 y=-x 위에 있다는 것이 출발점입니다. y=x에서 x²-2x-3=0을 풀어 A(3, 3), B(-1, -1)과 AB=4√2를 얻고, y=-x에서는 3x²-4x-9=0의 두 근의 차를 근과 계수의 관계로 처리해 CD를 구합니다. 두 대각선이 원점에서 수직으로 만나므로 넓이 공식을 적용합니다.

21번 — f∘g에 대한 조건 (상, 서술형)

f(g(x))=f(x)를 g(x)에 대한 식으로 정리하면 g(x)-x가 공통인수로 묶여 g(x)=x 또는 g(x)=-x+4가 나옵니다. 각 경우를 x²+3x-a=0, x²+5x-(a+4)=0으로 환원하고, 두 판별식 D₁=9+4a, D₂=41+4a에서 항상 D₂가 크다는 관계를 파악합니다. 실근이 2개이려면 D₁<0, D₂>0이어야 한다는 조건에서 a의 범위를 정해 정수 8개를 셉니다. 인수분해 → 경우 분류 → 판별식 대소 비교까지 네 단계를 서술로 풀어내야 합니다.

챙겨야 할 중상 유형

• 9번 — 접선의 길이 — 원 밖의 점에서 그은 두 접선이 수직이면 CP가 반지름의 √2배라는 도형 구조를 떠올려야 합니다. CP²=10에서 r²=5, 따라서 a=0입니다.
• 11번 — 원 위의 점에서의 접선 — 접선 ax+by=25를 세우고, 다른 원의 중심에서 이 접선까지의 거리가 반지름 2임을 이용합니다. a=3 또는 7이 나오는데 원 위의 점 조건(|a|≤5) 으로 a=3을 골라야 합니다.
• 13번 — 원 위의 점과 직선 사이의 거리 — 넓이 최댓값 식을 세워 반지름을 역산하는 방향이 특징입니다. 중심 C(4, 3)과 직선 사이의 거리 9/√5를 구한 뒤 r=√5를 끌어냅니다.
• 12번 — f(x, y)=0의 이동 — 두 도형의 꼭짓점을 대응시켜 원점 대칭 성분을 먼저 찾고, 이어서 x축 방향 -5, y축 방향 2의 평행이동을 확정해 f(-x-5, -y+2)로 합성합니다.
• 15번 — 원의 대칭이동 — 대칭축이 y=x와 y축으로 서로 달라서 각각 따로 적용해야 합니다. 중심이 (-1, 3) → (3, -1) → (-3, -1)로 옮겨 갑니다.
• 14번 — 그래프로 주어진 합성·역함수 — 점선을 읽어 g(a)=b, f(b)=a 같은 대응값을 확정하고 역함수 대응까지 도출한 뒤 보기 ㄱ~ㄹ을 각각 계산합니다.
• 20번 — 접선과 삼각형의 넓이 — P를 (a, b)로 두고 접선에서 A(9/a, 0)을 표현합니다. a<0 조건 아래 3a²-6a-9=0을 풀어 a=-1, b=2√2를 얻고 넓이 12√2를 구합니다.

선수 내용 점검 포인트

선수 유형은 이차방정식 계열이 4회로 집중돼 있습니다. 19번은 근과 계수의 관계, 21번은 근의 판별, 19·20번은 이차방정식의 풀이입니다. 21번에는 여러 개의 문자를 포함한 다항식의 인수분해도 필요합니다. 16번에는 중학교 피타고라스 정리 활용이 들어갑니다. 상 3문항 모두 공통수학1 이차방정식이 마무리 도구라는 점을 기억하세요.

기말 대비 학습 순서 제안

1. 출제 범위부터 확인 — 덕이고는 집합·명제 없이 함수를 중간에 넣었습니다. 기말 범위가 다른 학교와 다를 수 있으니 학교 공지를 꼭 확인하세요.
2. 삼각형의 중심 3종 정리 — 무게중심·외심·내심 좌표 구하는 법. 이 시험에서 3문항이 걸렸습니다.
3. 원의 방정식 심화 — 접선의 길이, 접선의 방정식, 양 축 접, 원 위의 점과 직선 사이의 거리까지 6문항.
4. 합성함수·역함수 결합 훈련 — 21번처럼 f(g(x))=f(x) 꼴 조건에서 g를 역추적하는 유형이 서술형으로 나왔습니다.
5. 공통수학1 이차방정식 복습 — 판별식, 근과 계수의 관계, 해의 조건 선택까지.
6. 덕이고 2025학년 중간 기출 실전 풀이 — 1~6번을 빠르게 끊고 9번 이후에 시간을 몰아주는 연습이 핵심입니다.

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