부산중앙여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

부산중앙여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 19문항입니다. 이 시험은 앞 절반과 뒤 절반이 확연히 다릅니다. 1~8번은 전부 중 난이도이고, 9번부터는 13번 하나를 빼고 모두 중상 이상입니다. 하 난이도는 한 문항도 없습니다.

핵심 요약

• 19문항 — 116번 선택형, 1719번 서술형 3문항
• 난이도: 하 0 / 중 9 / 중상 9 / 상 1
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 1
• 유일한 상: 19번 서술형, 두 그래프의 교점의 개수
• 서술형 3문항(17·18·19번)이 전부 중상 이상

부산중앙여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

부산중앙여자고등학교는 부산광역시 동래구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 19문항이고, 정답 기록을 보면 116번은 선택형, 1719번은 서술형입니다.

배치 단원으로 세면 도함수의 활용 10문항, 적분 9문항입니다. 미분 후반과 적분 전체를 거의 반반으로 묻는 구성입니다.

구조는 단순합니다. 1~8번은 중 난이도로 기본 개념을 확인하고, 9번부터 중상이 연달아 나옵니다. 9~19번 11문항 중 10문항이 중상 이상입니다. 앞 8문항을 얼마나 빨리, 틀리지 않고 넘기느냐가 뒤에서 쓸 시간을 정합니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 0, 중상 9

중과 중상이 9문항씩 정확히 반반입니다. 확보 구간은 1~8번과 13번입니다. 13번은 함수와 역함수의 정적분으로, 뒤쪽에 있지만 중 난이도라 놓치면 아까운 문항입니다.

서술형 세 문항은 17·18번 중상, 19번 상입니다. 서술형이 시험에서 가장 어려운 구간이라, 선택형 16번까지 시간을 아껴야 합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)가 6문항

05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 최다입니다. 극대·극소로 계수 정하기(3번), 최대·최소(4·16번), 증가 조건(8번), 구간에서 극값을 가질 조건(10번), 도함수 그래프로 극값 판단(12번)까지 극값과 최대·최소를 여러 각도로 묻습니다.

06 도함수의 활용 (3) 4문항은 부등식(7·17번)과 운동(9번), 교점 개수(19번) 입니다. 서술형 세 문항 중 두 문항(17·19번)이 이 단원입니다.

반복 유형 — 함수의 최대·최소 (4·16번)

같은 유형이 두 번 나온 것은 함수의 최대·최소입니다.

• 4번 중 — 닫힌 구간의 양 끝과 도함수가 0인 점을 후보로 놓고, 최댓값과 최솟값을 비교합니다. 교과서 기본형입니다.
• 16번 중상 — 절댓값이 붙은 함수에서 끝점과 극점의 값을 비교해 t에 따라 최댓값 함수 g를 세 구간으로 나누고, 구간별로 정적분해 더합니다.

4번에서 쓰는 “끝점과 극점을 모두 후보로” 라는 원칙이 16번에서는 t가 움직이면서 구간마다 다시 적용됩니다. 4번을 확실히 익혀야 16번에 들어갈 수 있습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 계산과 부정적분 (1·2·5번) — 3문항, 전부 중

1번 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 2번 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 5번 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어진 경우).

• 1번은 같은 구간의 두 정적분을 하나로 합쳐 일차식 적분으로 만듭니다. 구간이 같으면 피적분함수끼리 먼저 합치는 것이 요령입니다.
• 2번은 관계식을 미분해 도함수를 구하고, 주어진 함숫값으로 적분상수를 정합니다.
• 5번은 대칭 구간에서 홀수 차수 항이 사라지는 것을 이용한 뒤, 남은 삼차식의 실근을 구합니다.

2. 극값·증가와 계수 결정 (3·8·10·12번) — 4문항

3번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가하기 위한 조건, 10번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 12번 중상 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소.

• 3번은 극대가 되는 점에서 도함수가 0이라는 조건으로 계수를 정한 뒤, 실제로 극대인지 확인하고 극댓값을 씁니다.
• 8번은 증가 조건을 도함수 ≥ 0, 즉 판별식 ≤ 0 으로 바꾸고 정수 범위를 셉니다.
• 10번은 극댓값과 극솟값을 모두 가지려면 도함수의 두 근이 주어진 구간 안에 있어야 한다는 조건으로 바꾸고, 판별식과 구간 끝 조건을 결합해 정수 개수를 셉니다.
• 12번은 두 도함수 그래프의 위아래 관계로 차 함수의 부호를 판단하고, 교점 좌우의 부호 변화로 극값을 판정해 세 명제를 고릅니다.

3. 부등식과 교점 (7·17·19번) — 3문항

7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 17번 중상·서술형 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 19번 상·서술형 두 그래프의 교점의 개수.

• 7번은 양의 구간에서 함수의 최솟값을 임계점에서 구하고, 부등식이 등호 없이 성립하는 조건으로 정수 상한을 정합니다.
• 17번은 부등식을 두 함수의 차의 최솟값 문제로 바꾸고, 도함수 부호로 극소가 하나뿐임을 확인해 k의 범위를 정합니다.
• 19번은 두 점의 처음 위치와 속도로 위치함수를 세우고, 위치 차 함수의 극대와 증가·감소를 따져 두 번 만나는 조건을 구합니다. 분석표 기록상 여러 개의 소문항으로 이루어진 서술형입니다.

4. 운동과 정적분의 활용 (6·9·11·13·14번) — 5문항

6번 중 두 곡선 사이의 넓이, 9번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 11번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 13번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 14번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이.

• 6번은 두 이차곡선의 교점을 모두 구하고, 위아래가 바뀌는 교점에서 구간을 나눠 적분합니다.
• 9번은 위치를 미분한 속도를 인수분해한 뒤, 중근에서는 방향이 바뀌지 않고 단순근에서만 바뀐다는 점을 구별해 명제를 판정합니다.
• 11번은 속도 그래프의 구간별 부호로 위치와 움직인 거리를 계산하고, 전 구간에서의 최대 거리와 같은 지점을 다시 지나는지를 판단합니다.
• 14번은 교점에서 위아래가 바뀌는 두 넓이를 하나의 부호 있는 정적분으로 묶어, 조건에서 기울기를 정합니다.

5. 정적분의 응용 (15·18번) — 2문항, 둘 다 중상

15번 주기함수의 정적분, 18번 서술형 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우).

15번은 함숫값이 이어지는 조건과 미분가능 조건으로 계수를 정하고, 주기 구조를 이용해 적분 구간을 옮긴 뒤 계산합니다. 18번은 위끝에 값을 대입해 a를 정하고, 두 번 미분해 다항함수를 복원한 다음 극한값을 f(a)로 계산하는 서술형입니다.

주의 문항 — 서술형 3문항

17번 중상 (모든 실수에서 부등식) — 함수의 차를 만들고 최솟값을 구하는 과정을 모두 써야 합니다.

18번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 대입 → 미분 → 복원 → 극한까지 네 동작이 이어집니다. 중간 식을 빠뜨리면 감점입니다.

19번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 이 시험의 유일한 상이자 마지막 문항입니다. 위치함수를 세우는 첫 단계가 틀리면 소문항이 연쇄로 무너지니 처음 두 식을 반드시 검산하세요.

부산중앙여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 같은 구간 정적분 합치기, 부정적분 관계식 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 우함수·기함수의 정적분 — 5번 대비.
3. 극대·극소로 계수 정하기, 증가 조건 — 3·8번 대비.
4. 닫힌 구간의 최대·최소 — 4번 대비. 끝점과 극점 모두 후보.
5. 두 곡선 사이의 넓이 — 6·14번 대비.
6. 구간에서 부등식이 성립할 조건 — 7번 대비.
7. 속도와 운동 방향(중근 vs 단순근) — 9번 대비.
8. 구간에서 극값을 가질 조건, 도함수 그래프 해석 — 10·12번 대비.
9. 속도 그래프의 넓이와 위치·이동거리 — 11번 대비.
10. 함수와 역함수의 정적분 — 13번 대비. 뒤쪽 확보 문항.
11. 주기함수의 정적분 — 15번 대비.
12. ★ 절댓값 함수의 최댓값 함수 g와 구간별 적분 — 16번 대비.
13. ★ 부등식과 정적분 등식 서술 — 17·18번 대비.
14. ★ 두 점의 위치함수와 만나는 횟수 — 19번 대비.

자주 나오는 질문

부산중앙여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 116번은 선택형, 1719번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3), 08 정적분, 09 정적분의 활용이 각 4문항, 07 부정적분이 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 19번 한 문항입니다. 두 점의 위치함수로 만나는 횟수를 따지는 서술형입니다.

쉬운 문항은 어디인가요?

하 난이도는 없습니다. 중 난이도 9문항(1~8번, 13번)이 확보 구간입니다.

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